Съдържание

НПСФ 2001, Специална тема — Задача 3

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2001

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА — НАЦИОНАЛНО СЪСТЕЗАНИЕ ПО ФИЗИКА, 23.03.2001 – 25.03.2001 гр.Пловдив — СПЕЦИАЛНА ТЕМА · 23 март 2001 г. · 60 т.

Внимание: Бележка към темата

Скан с ниско качество (пишеща машина, 2001 г.); някои формули и цифри са трудни за четене.

Указание

Темата съдържа четири задачи. Участниците решават ТРИ задачи ПО ИЗБОР.

Условие

Зад 3. Фотон с честота $\nu=6{,}1\cdot10^{14}\ \mathrm{Hz}$ пада под ъгъл $\theta=23^{\circ}$ на неголяма пластинка с площ $S=1\ \mathrm{mm^{2}}$ . Съществуват две възможности: той да се отрази от пластинката или да се погълне от нея.
I. Нека преди фотонът да достигне до пластинката тя е неподвижна и масата ѝ е $\mu_{0}=5\cdot10^{-6}\ \mathrm{kg}$ . Неподвижен спрямо нея е и светлинният източник.
Стойности на величините: Скорост на светлината във вакуум $c=3\cdot10^{8}\ \mathrm{m/s}$ , Константа на Планк $h=6{,}62\cdot10^{-34}\ \mathrm{J\cdot s}$ .
Упътване: За по-лесно извършване на пресмятанията използвайте приблизителните равенства:

(1+x)^{\alpha}\approx 1+\alpha x,\qquad (1+x)^{\alpha}\approx 1+\alpha x+\tfrac{1}{2}\alpha(\alpha-1)x^{2},

валидни при $|x|\ll 1$ .

А/ Да се определи скоростта на пластинката, след като тя погълне фотона.

Б/ Каква част от енергията на фотона се превръща в механична енергия на пластинката?

В/ Да се определи скоростта на пластинката след като фотонът се отрази от нея. Каква е честотата $\nu'$ на отразения фотон? Каква относителна грешка се допуска, ако се приеме, че честотата на отразения фотон е равна на $\nu$ ?

Г/ Върху пластинката, чийто коефициент на отражение е $R=0{,}8$ пада под ъгъл $\theta$ успореден сноп бяла светлина. Плътността на енергията в снопа е $u=6{,}7\cdot10^{-6}\ \mathrm{\frac{J}{m^{3}}}$ . Да се определи нормалното налягане на снопа върху пластинката. Движението на пластинката да не се отчита. Да се определи и предадения на пластинката импулс за единица време.

Д/ II. Да си мислим, че пластинката се движи с постоянна скорост $\vec V$ спрямо източника на светлина. Големината ѝ е $V=\frac{2}{3}c$ , а посоката на $\vec V$ е перпендикулярна на пластинката и е противоположна на посоката от нея към източника на светлина. Каква е честотата спрямо пластинката на фотон, който спрямо източника има честота $\nu$ ?

Е/ Да се определи предадения на пластинката импулс от фотон, който се отразява от нея спрямо отправна система, свързана с пластинката.

Отговори

Решение

Решение на задача 3:

I. Да положим: $x=\dfrac{h\nu}{\mu_{0}c^{2}}$ , $\left(x=8{,}97\cdot10^{-31}\right)$ .

А/ Когато се поглъща фотона енергията на покой на пластинката нараства. Тогава от ЗСИ и ЗЗЕ имаме: [6т.]

\frac{h\nu}{c}\vec n_{1}=\frac{\mu_{0}'\vec v}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}},\qquad x\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}=\frac{\mu_{0}'}{\mu_{0}}\frac{v}{c},

или

h\nu+\mu_{0}c^{2}=\frac{\mu_{0}'c^{2}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}},\qquad (x+1)\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}=\frac{\mu_{0}'}{\mu_{0}},\qquad(1)

където $\vec n_{1}$ е единичният вектор на посоката на падащия фотон, $\vec v$ е скоростта на пластинката / $v=|\vec v|$ /. Като разделим уравненията (1) получаваме: [2т.] $v=\dfrac{cx}{x+1}$ , след което намираме решението на системата (1): [2т.]

v=\frac{cx}{x+1}\approx\frac{h\nu}{\mu_{0}c},\qquad \mu_{0}'=\mu_{0}\sqrt{1+2x}\approx\mu_{0}\left(1+\frac{h\nu}{\mu_{0}c^{2}}\right).

Б/ Частта от енергията на фотона, превърнала се в механична енергия на пластинката е: [3т.]

\eta=\frac{1}{h\nu}\left(\frac{\mu_{0}'c^{2}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}-\mu_{0}'c^{2}\right)=\frac{1}{x}\left(\frac{1}{\sqrt{1-\frac{x^{2}}{(x+1)^{2}}}}-1\right)\approx\frac{x}{2}.

В/ При отражение на фотона от пластинката ЗСИ и ЗЗЕ са: /виж фигурата/ [7т.]

\frac{h\nu}{c}\vec n_{1}-\frac{h\nu'}{c}\vec n_{2}=\frac{\mu_{0}\vec v}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}},\qquad x\vec n_{1}-x'\vec n_{2}=\frac{\vec v}{c}\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}},

или

h\nu+\mu_{0}c^{2}=h\nu'+\frac{\mu_{0}c^{2}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}},\qquad x-x'=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}-1,\qquad(2)

където $x'=\dfrac{h\nu'}{\mu_{0}c^{2}}$ . Като повдигнем уравненията (2) на квадрат получаваме системата: [7т.]

x^{2}+x'^{2}+2xx'\cos 2\theta=\frac{v^{2}/c^{2}}{1-v^{2}/c^{2}},

x^{2}+x'^{2}-2xx'=\frac{1}{1-v^{2}/c^{2}}\left(2-\frac{v^{2}}{c^{2}}-2\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}\right).\qquad(3)

Като извадим уравненията на системата (3) получаваме:

2xx'\cos^{2}\theta=\frac{1}{\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}}-1=x-x'.\qquad(4)

От (4) намираме: [2т.]

x'=\frac{x}{1+2x\cos^{2}\theta},

\nu'=\nu:\left(1+\frac{2h\nu}{\mu_{0}c^{2}}\cos^{2}\theta\right)\approx\nu\left(1-\frac{2h\nu}{\mu_{0}c^{2}}\cos^{2}\theta\right)=6{,}1\cdot10^{14}\left(1-5{,}09\cdot10^{-31}\right)\ \mathrm{Hz}.

Като заместим получения израз в първото равенство на (3) получаваме: [2т.]

v\approx 2\frac{h\nu}{\mu_{0}c^{2}}\cos\theta\approx 1{,}8\cdot10^{-30}\ \mathrm{\frac{m}{s}}.

Относителната грешка, която се допуска, ако се приеме, че $\nu'=\nu$ е: [2т.]

\eta=\frac{|\nu-\nu'|}{\nu}=5{,}09\cdot10^{-29}\ \%.

Г/ Да се пренебрегне движението на пластинката означава да не се отчита изменението на честотата на отразения фотон.
Нека $\Delta N(\nu)$ е броят фотони, които се намират в единица обем от снопа и имат честоти между $\nu$ и $\nu+\Delta\nu$ , където $\Delta\nu$ е малък честотен интервал. От тях $R\,\Delta N(\nu)$ се отразяват и предават импулс [7т.]

\vec P_{1}=R\,\Delta N(\nu)\left(\frac{2h\nu}{c}\cos\theta,\ 0\right),

а $(1-R)\Delta N(\nu)$ се поглъщат, предавайки импулс [5т.]

\vec P_{2}=(1-R)\,\Delta N(\nu)\left(\frac{h\nu}{c}\cos\theta,\ \frac{h\nu}{c}\sin\theta\right).

Предаденият импулс ще получим като сумираме $\vec P_{1}$ и $\vec P_{2}$ по всички честоти. Очевидно сумата от величините $h\nu\,\Delta N(\nu)$ е равна на $u$ . За предаденият импулс за единица време получаваме: [4т.]

|\Delta\vec P|=\frac{uS}{c}\sqrt{(1+R)^{2}\cos^{2}\theta+(1-R)^{2}\sin^{2}\theta}\,c\cos\theta=uS\sqrt{1+R^{2}+2R\cos 2\theta}\,\cos\theta=6{,}53\cdot10^{-12}\ \mathrm{\frac{kg\,m}{s}}.

Предаденият импулс за единица време върху единична площ, т.е. нормалното налягане е: [4т.]

P=(1+R)\,u\,\cos^{2}\theta\approx 3{,}42\cdot10^{-6}\ \mathrm{Pa}.\qquad(5)

II. Спрямо отправна система, свързана с пластинката, източникът се движи със скорост $-\vec V$ , значи със скорост с големина $V=|\vec V|$ .
Плоска вълна спрямо $K'$ е: [2т.]