Съдържание

НПСФ 2002, Специална тема — Задача 1

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2002

РЕГИОНАЛНО СЪСТЕЗАНИЕ ПО ФИЗИКА · БУРГАС · 23.03.2002 г. · ТЕМА ПО ПРОГРАМАТА НА МОФ · 23 март 2002 г.

Внимание: Бележка към темата

Регионално (областно) пролетно състезание; в каталъга кръгът е null.

Условие

Катер (фиг. 1) използва следния принцип за придвижване. Турбина изпомпва вода от езерото и я изхвърля назад, в хоризонтална посока, през тръба с площ на напречното сечение $S = 0{,}01\ \mathrm{m^2}$ . Възникващата реактивна сила тласка катера напред.

Схема на катер, движещ се със скорост v надясно; турбина изхвърля вода наляво със скорост u през сопло S; водата постъпва отдолу от езерото. — Фиг. 1

а) Получете израз за масата $\mu$ на водата, изхвърлена от тръбата за единица време, ако скоростта на изхвърлената вода спрямо катера е $u$ , а плътността на водата – $\rho$ ( $\rho = 1000\ \mathrm{kg/m^3}$ ).

б) Върху катера действа сила на съпротивление $F = kv^2$ , където $v$ е скоростта на катера, а $k = 20\ \mathrm{kg/m}$ е коефициент на пропорционалност. С каква скорост $u$ спрямо катера трябва да се изхвърля водата през тръбата така, че катерът да се движи със скорост $v = 10\ \mathrm{m/s}$ ?

в) Каква е минималната мощност на двигателя при тази скорост на катера?

Отговори

Решение

а) За време $t$ през изходния отвор на тръбата ще преминат всички водни частици, които се намират на разстояние по-малко от $ut$ от отвора, т. е. в цилиндър с обем $V = uSt$ [1 т.]. Следователно масата на водата, преминала за единица време през отвора, е:

\mu = \frac{m}{t} = \frac{\rho V}{t} = \rho uS.\ \textbf{[1 т.]}

б) Нека разгледаме движението на определено количество вода с маса $m$ през тръбата. В началото водата в езерото е неподвижна и следователно нейният импулс е нула. След излизане от тръбата водата се движи със скорост $u - v$ спрямо езерото и има импулс $p = m(u - v)$ [1 т.], насочен хоризонтално в противоположна посока спрямо движението на катера. Съгласно със закона за изменение на пълния импулс на една система силата, с която тръбата действа върху водата, е:

F = \frac{p}{t} = \mu(u - v) = \rho u(u - v)S\ \textbf{[2 т.]}

и е насочена противоположно спрямо движението на катера. Съгласно с третия принцип на Нютон водата действа върху тръбата, а следователно и върху катера като цяло, със същата по големина сила, но насочена по-посока на движението – т. нар. реактивна сила. За да се движи катерът равномерно е необходимо реактивната сила да уравновесява силата на съпротивление:

\rho u(u - v)S = kv^2 \quad \text{или} \quad u^2 - vu - \frac{k}{\rho S}v^2 = 0.\ \textbf{[2 т.]}

Полученото уравнение за $u$ има два корена – един положителен и един отрицателен. Отговорът на задачата се дава с положителния, корен:

u = \frac{v\left(1 + \sqrt{1 + \dfrac{4k}{\rho S}}\right)}{2} = 2v = 20\ \mathrm{m/s}.\ \textbf{[2 т.]}

в) Минималната мощност $P_{\min}$ на двигателя е равна на механичната работа, която двигателят извършва за единица време [1 т.]. Тя се състои от две части:

Работа, която извършва реактивната сила върху катера за единица време:

P_1 = Fv = \rho u(u - v)vS.\ \textbf{[1 т.]}

Изменение на кинетичната енергия на изхвърляната вода за единица време:

P_2 = \frac{m(u - v)^2}{2t} = \frac{\rho u(u - v)^2 S}{2}.\ \textbf{[2 т.]}

Оттук намираме минималната мощност на двигателя:

P_{\min} = P_1 + P_2 = \frac{\rho u(u^2 - v^2)S}{2} = 30\ \mathrm{kW}.\ \textbf{[2 т.]}

Оригинал в Архива: proletni_2002_STproblems.pdf · официални решения: proletni_2002_STsolutions.pdf