Съдържание

НПСФ 2003, Специална тема — Задача 4. Ефект на Доплер в квантовия модел на светлината

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2003

Национално пролетно състезание по физика, Ковачевци, 21–23.03.2003 г. — Специална тема · 21 март 2003 г. · 15 т.

Условие

Свободно движещ се светлинен източник излъчва в посока, сключваща ъгъл $\theta$ , с първоначалната му посока на движение. Лъчението се регистрира от неподвижен приемник. Да се определи честотата $\nu$ , която регистрира приемника, ако е известно, че когато източникът е неподвижно закрепен, излъчва на честота $\nu_0$ . Решете задачата като приложите квантовия модел за светлината в два случая:

а) Източникът с маса $M$ се движи със скорост $v$ много по-малка от скоростта на светлината $c$ . При излъчването на един фотон вътрешната енергия на източника намалява с $h\nu_0$ . Приемете, че импулсът на източника преди излъчването е много по-голям от импулса на излъчения фотон [7 т.]

б) Източникът се движи със скорост $v$ сравнима със скоростта на светлината $c$ . Приемете, че $h\nu_0 \ll Mc^2$ [8 т.]

Отговори

Решение

а) Ще разглеждаме фотона като частица с енергия $h\nu$ и импулс $h\nu/c$ [1 т]

При излъчването на фотона източникът изпитва откат и неговата скорост се променя на $u$ . От закона за запазване на енергията имаме:

\frac{1}{2}Mv^2 + E = \frac{1}{2}Mu^2 + E' + h\nu

[1 т]

Законът за запазване на импулса дава:

Mv = Mu\cos\varphi + \frac{h\nu}{c}\cos\theta

[1 т]

0 = Mu\sin\varphi - \frac{h\nu}{c}\sin\theta

[1 т]

Тъй като $E - E' = h\nu_0$ [1 т] след като изключим $u$ и $\varphi$ получаваме:

2hM(\nu - \nu_0) - 2Mv\frac{h\nu}{c}\cos\theta + \left(\frac{h\nu}{c}\right)^2 = 0

[1 т]

Тъй като $Mv \gg h\nu/c$ , последното събираемо в лявата страна може да се пренебрегне и тогава получаваме:

\nu = \frac{\nu_0}{1 - \dfrac{v}{c}\cos\theta}.

[1 т]

б) При релативистки скорости:

E = \frac{Mc^2}{\sqrt{1-\beta^2}} \quad \text{и} \quad p = \frac{Mv}{\sqrt{1-\beta^2}},

[1 т]

където $\beta = v/c$ , а $M$ – масата в покой на източника преди излъчване на фотона. След излъчването масата в покой на източника намалява на $M'$ , така че

(M - M')c^2 = h\nu.

[1 т]

От законите за запазване на импулса и енергията имаме:

\frac{Mv}{\sqrt{1-\beta^2}} = \frac{M'u}{\sqrt{1-\beta'^2}}\cos\varphi + \frac{h\nu}{c}\cos\theta

[1 т]

0 = \frac{M'u}{\sqrt{1-\beta'^2}}\sin\varphi - \frac{h\nu}{c}\sin\theta

[1 т]

\frac{Mc^2}{\sqrt{1-\beta^2}} = \frac{M'c^2}{\sqrt{1-\beta'^2}} + h\nu

[1 т]

От получената система уравнения и връзката между $M$ и $M'$ намираме:

\frac{Mc^2\nu}{\sqrt{1-\beta^2}}(1 - \beta\cos\theta) = Mc^2\nu_0 - \frac{h\nu_0^2}{2}

[1 т]

След като пренебрегнем последното събираемо в дясната страна получаваме

\nu = \frac{\nu_0\sqrt{1-\beta^2}}{1 - \beta\cos\theta} = \nu_0\frac{\sqrt{1 - \left(\dfrac{v}{c}\right)^2}}{1 - \dfrac{v}{c}\cos\theta}

[1 т]

Оригинал в Архива: proletni_2003_STproblems.pdf · официални решения: proletni_2003_STsolutions.pdf