Съдържание

НПСФ 2005, 11–12 клас — Задача 1. Топче, падащо в кладенец.

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2005

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА · Национално пролетно състезание по физика · Шумен, 11 – 13 март 2005 г. · Тема за 11-12 клас · 11 март 2005 г. · 10 т.

Условие

Малко топче с маса $m = 100\ \mathrm{g}$ пада в цилиндричен кладенец с дълбочина $h = 80\ \mathrm{m}$ и радиус $R = 1\ \mathrm{m}$ . Първоначално топчето се намира в центъра на отвора на кладенеца и има скорост $v_0 = 9\ \mathrm{m/s}$ , насочена хоризонтално (виж фиг. 1). Падайки, топчето се удря в цилиндричната стена идеално еластично. Земното ускорение е $g = 10\ \mathrm{m/s^2}$ . Намерете:

а) скоростта на топчето $v_1$ , когато то се удари в дъното на кладенеца. [2 т.]

б) времето $t_1$ , за което то достига дъното на кладенеца. [2 т.]

в) броя на ударите $N$ в цилиндричната стена на кладенеца, до момента на падане на дъното. [3 т.]

г) разстоянието $x_1$ между точката на падане на дъното на кладенеца и неговия център. [3 т.]

Вертикален разрез на цилиндричен кладенец с дълбочина h и радиус R; в горния център е топчето със скорост v0, насочена хоризонтално вдясно, и вектор g надолу. — фиг. 1

Отговори

Решение

а) Тъй като ударите в цилиндричната стена на кладенеца са идеално еластични, скоростта на топчето (следователно и неговата кинетична енергия) непосредствено преди и след удара се запазва по големина. За цялото падане може да се приложи закона за запазване на пълната механична енергия:

\frac{mv_0^2}{2} + mgh = \frac{mv_1^2}{2}\,,

(1)
откъдето

v_1 = \sqrt{v_0^2 + 2gh} \quad \textbf{[1 т]} \quad = \sqrt{9^2 + 2\cdot 10\cdot 80}\ \mathrm{m/s} = 41\ \mathrm{m/s} \quad \textbf{[1 т]}

б) По вертикалната ос $y$ топчето се движи равноускорително с ускорение $g$ (при ударите в стената вертикалната компонента на скоростта не се променя). От закона за скоростта $v = v_{0y} + gt$ и закона за пътя $y = v_{0y}t + \frac{1}{2}gt^2$ , при $v_{0y} = 0$ , може да се намери времето за падане:

t = \sqrt{\frac{2h}{g}} \quad \textbf{[1 т]} \quad = \sqrt{\frac{2\cdot 80}{10}}\ \mathrm{s} = 4\ \mathrm{s} \quad \textbf{[1 т]}\,. \qquad (2)

в) По хоризонталната ос $x$ топчето се движи с постоянна по големина скорост (при ударите се сменя само нейната посока). Броят удари $N$ в цилиндричната стена зависи от изминатия път $s$ по следния начин:

N = \left[ \frac{s+R}{2R} \right] \qquad (3)

където знаците $[\ ]$ означават цяла част от число.
Изминатият път по оста $x$ зависи от времето така:

s = v_0 t \qquad (4)

Следователно

N = \left[ \frac{v_0\sqrt{\dfrac{2h}{g}} + R}{2R} \right] \ \textbf{[2 т]} \quad = [18{,}5] = 18 \quad \textbf{[1 т]}

г) от уравнения (2) и (4), изминатият път по оста $x$ е $s = v_0\sqrt{\dfrac{2h}{g}}$ [1 т] $= 9\ \dfrac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\sqrt{\dfrac{2\cdot 80}{10}}\ \mathrm{s} = 36\ \mathrm{m}$ [1 т]. Следователно топчето е изминало път, равен точно на 36 радиуса и ще падне точно в центъра на дъното, т.е. разстоянието между точката на падане на дъното на кладенеца и неговия център $x_1 = 0$ [1 т].

Оригинал в Архива: proletni_2005_11-12problems.pdf · официални решения: proletni_2005_11-12solutions.pdf