Съдържание

НПСФ 2005, Специална тема — Задача 1. Отскачане на камък от водна повърхност

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2005

Министерство на образованието и науката · Национално пролетно състезание по физика · Шумен, 11.03 – 13.03, 2005 г. · СПЕЦИАЛНА ТЕМА · 11 март 2005 г. · 10 т.

Условие

Всекидневният опит ни учи, че за да отскочи камък от гладка водна повърхност, е необходимо скоростта му преди удара да бъде достатъчно голяма и да сключва достатъчно малък ъгъл с повърхността. В тази задача ще изследвате прост модел за удар на твърдо тяло във водна повърхност, който позволява да определите максималният ъгъл и минималната скорост, необходими за отскачане на камъка. Основните предположения, които можете да използвате са:

Водната повърхност около камъка остава плоска и хоризонтална по време на целия удар (вж. фиг. 1);
По време на удара водата оказва постоянно налягане $p$ , еднакво във всички точки от повърхността на камъка, които са потопени под водата:

p = C\rho v_0^2,

където $\rho = 1000\ \mathrm{kg/m^3}$ е плътността на водата, $v_0$ – скоростта на камъка, в момента, когато той достига водната повърхност, а $C = 0{,}2$ е безразмерен коефициент на пропорционалност.
Хидростатичното налягане на водата се пренебрегва.
Разгледайте сферичен камък с маса $m = 0{,}01\ \mathrm{kg}$ и радиус $R = 0{,}01\ \mathrm{m}$ , който достига водата със скорост $v_0$ , насочена под ъгъл $\theta$ спрямо нейната повърхност (вж. фиг. 1). Дълбочината на потапяне на камъка се задава с координатата $z$ ( $z \in [0, 2R]$ ). Ускорението на свободно падане е $g = 9{,}8\ \mathrm{m/s^2}$ .

Сферичен камък с радиус R и скорост v0, насочена под ъгъл θ към хоризонталната водна повърхност; вдясно камъкът е показан потопен на дълбочина z под повърхността, координатната ос z е насочена надолу. — Фиг. 1

а) Изразете $z$ -компонентата на резултантната сила $\vec F$ , приложена върху камъка като функция на координатата $z$ , на параметрите $C, \rho, m, R, v_0$ , и на земното ускорение $g$ . [2 т.]

б) Камъкът пада под фиксиран ъгъл $\theta$ спрямо водната повърхност. Получете израз за началната скорост $v_0$ , при която по време на удара камъкът се потапя на определена максимална дълбочина $z_{\max}$ . Изразете отговора чрез $C, \rho, m, R, g, \theta$ и $z_{\max}$ . [3 т.]

в) Намерете най-големия ъгъл $\theta_{\max}$ , при който камъкът може да отскочи от водата. Изразете отговора чрез $C, \rho, m, R$ и $g$ , и пресметнете неговата числена стойност. [2 т.]

г) Пресметнете най-малката начална скорост $v_{\min}$ , при която камъкът може да отскочи от водата в случай на хлъзгащо падане ( $\theta \approx 0$ ). Изразете отговора чрез $C, \rho, m, R$ и $g$ , и пресметнете неговата числена стойност. [3 т.]

Отговори

Решение

а) Равнодействащата сила е равна на векторната сума:

\vec F = m\vec g + \vec N,

където $m\vec g$ е силата на тежестта, а $\vec N$ — силата на реакция, с която водата действа на камъка. Понеже налягането на водата е разпределено равномерно върху потопената повърхност на камъка, силата на реакция е насочена вертикално нагоре и големината ѝ е:

N = pS_\perp = C\rho v_0^2 S_\perp.

[1 т]
където $S_\perp$ е площта на напречното сечение (защрихованата част) на камъка с водната повърхност. Като вземем предвид, че:

S_\perp = \pi r^2 = R^2 - (R - z)^2,

намираме окончателно:

F_z = mg - R = mg - \pi C\rho v_0^2\left(2Rz - z^2\right).

[1 т]

б) Хоризонталната компонента $v_x$ на скоростта на камъка не се променя, защото силата $\vec F$ е насочена вертикално:

v_x = v_0\cos\theta = \mathrm{const}.

[0,5 т]
В момента на максимално потапяне ( $z = z_{\max}$ ):

v_y = 0.

[0,5 т]
Промяната на кинетичната енергия на камъка, следователно, е:

\Delta K = \frac{m(v_0\cos\theta)^2}{2} - \frac{mv_0^2}{2} = -\frac{mv_0^2}{2}\sin^2\theta.

От друга страна:

\Delta K = W = \int_0^{z_{\max}} F_z\,dz,

[0,5 т]
където $W$ е работата, която извършва силата $F$ при потапяне на камъка. След като извършим интегрирането, получаваме:

\frac{mv_0^2}{2}\sin^2\theta = \pi C\rho v_0^2\left(Rz_{\max}^2 - \frac{z_{\max}^3}{3}\right) - mgz_{\max}.

[0,5 т]
След като решим уравнението спрямо $v_0$ , намираме:

v_0 = \frac{\sqrt{6mgz_{\max}}}{\sqrt{2\pi C\rho(3R - z_{\max})z_{\max}^2 - 3m\sin^2\theta}}.

[1 т]

в) При зададена дълбочина $z_{\max}$ камъкът може да отскочи, ако изразът под квадратния корен в знаменателя е положителен. Следователно:

\theta \le \arcsin\sqrt{\frac{2\pi C\rho(3R - z_{\max})z_{\max}^2}{3m}}.

[0,5 т]
Изразът под корена нараства монотонно с увеличаване на $z_{\max}$ . Следователно максималният ъгъл на падане съответства на дълбочина на потапяне: $z_{\max} = 2R$ :

\theta_{\max} = \arcsin\sqrt{\frac{8\pi C\rho R^3}{3m}}.

[1 т]
След заместване с числените стойности намираме:

\theta_{\max} \approx \arcsin(0.409) \approx 24^{\circ}.

[0,5 т]

г) От уравнението за изменението на кинетичната енергия, при $\theta = 0$ , получаваме:

0 = \pi C\rho v_0^2\left(Rz_{\max}^2 - \frac{z_{\max}^3}{3}\right) - mgz_{\max}

или

z_{\max}^2 - 3Rz_{\max} + \frac{3mg}{\pi C\rho v_0^2} = 0.

[1 т]
Уравнението има два корена, като максималната дълбочина на потапяне се определя от по-малкия корен:

z_{\max} = \frac{1}{2}\left\{3R - \sqrt{9R^2 - \frac{12mg}{\pi C\rho v_0^2}}\right\}.

[0,5 т]
За да може камъкът да отскочи, е необходимо уравнението да има реално решение за $z_{\max}$ . Следователно дискриминантата на уравнението трябва да е положителна:

9R^2 - \frac{12mg}{\pi C\rho v_0^2} \ge 0,

откъдето окончателно намираме:

v_{\min} = \sqrt{\frac{4mg}{3\pi C\rho R^2}}.

[1 т]
След заместване с числените стойности пресмятаме:

v_{\min} \approx 1{,}44\ \mathrm{m/s}.

[0,5 т]

Сферичен камък с радиус R, частично потопен под хоризонталната водна повърхност; защрихованото напречно сечение на нивото на водата има радиус r; силата N е насочена вертикално нагоре; дълбочината на потапяне z е отбелязана по оста z, насочена надолу от точка 0.

Оригинал в Архива: proletni_2005_STproblems.pdf · официални решения: proletni_2005_STsolutions.pdf