Съдържание

НПСФ 2005, Специална тема — Задача 2. Образуване на облаци

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2005

Министерство на образованието и науката · Национално пролетно състезание по физика · Шумен, 11.03 – 13.03, 2005 г. · СПЕЦИАЛНА ТЕМА · 11 март 2005 г. · 10 т.

Условие

Съдържанието на водни пари във въздуха може да бъде характеризирано с няколко параметъра: абсолютна влажност $\rho$ , относителна влажност $\eta$ и относителна моларна концентрация $x$ .
Абсолютната влажност е равна на плътността на водните пари във въздуха: $\rho = \dfrac{m_v}{V}$ , където $m_v$ е масата на парите, които се съдържат във въздух с обем $V$ . Относителната влажност е безразмерно число, което се изменя в интервала $[0{,}1]$ (или $[0\%, 100\%]$ ) и се дефинира като: $\eta = \dfrac{P_v}{P_s}$ , където $P_v$ е парциалното налягане на парите във въздуха, а $P_s(T)$ – налягането на наситените водни пари при температура $T$ . Относителната моларна концентрация също е безразмерна величина ( $x = [0{,}1]$ или $x = [0\%, 100\%]$ ) и се дава със съотношението: $x = \dfrac{n_v}{n}$ , където $n_v$ е броят молове на водните пари, които се съдържат в $n$ мола въздух.
На фиг. 2, а е дадена графика на зависимостта на налягането на наситените водни пари $P_s$ като функция на температурата в интервала $t = [0^{\circ}\mathrm{C}, 30^{\circ}\mathrm{C}]$ . Когато при дадена температура парциалното налягане на водните пари във въздуха достигне $P_s$ , т. е. $\eta = 100\%$ , започва кондензация на парите и образуване на облаци или мъгла.

Графика на налягането на наситените водни пари Ps (в 10³ Pa) като функция на температурата t (°C) в интервала 0–30 °C; Ps нараства от около 0,6·10³ Pa до около 4,2·10³ Pa. — Фиг. 2, а

Графика на атмосферното налягане P (в 10³ Pa) като функция на надморската височина h (m) от 0 до 5000 m; P намалява линейно от 100·10³ Pa до около 55·10³ Pa. — Фиг. 2, б

А) Пресметнете абсолютната влажност $\rho$ и относителната моларна концентрация $x$ на водните пари във въздуха при температура $t_0 = 27^{\circ}\mathrm{C}$ , нормално атмосферно налягане $P_0 = 1{,}0\cdot10^5\ \mathrm{Pa}$ и относителна влажност $\eta = 50\%$ . [3 т.]

Б) а) Въздушно течение с температура, налягане и влажност на морското ниво, като зададените в т. А), се издига по висок планински склон. На фиг. 2, б е показана графика на атмосферното налягане $P$ като функция на надморската височина $h$ .
Получете зависимост между парциалното налягане $P_v$ на водните пари и температурата $T$ на въздуха при неговото издигане. [2 т.]

Б) б) На каква надморска височина по склона ще започнат да се образуват облаци? Каква ще бъде температурата на тази височина? [5 т.]

Можете да приемете, че:

издигането на въздуха е адиабатен процес;
относителната моларна концентрация на водните пари не се променя при издигането;
показателят на адиабатата на въздуха е $\gamma = 7/5$ , независимо от влажността му.

При числените пресмятания можете да използвате приблизителното равенство: $(1 + x)^n \approx 1 + nx$ при $|x| \ll 1$ . Ако решението налага, можете да правите графични построения върху фиг. 2, а и фиг. 2, б. В този случай не забравяйте да поставите страница 2 от условията в плика заедно с решенията!
Полезни данни: моларна маса на водата $M = 0{,}018\ \mathrm{kg/mol}$ ;
универсална газова константа $R = 8{,}314\ \mathrm{J/(mol.K)}$ .

Отговори

Решение

А) От графиката определяме, че при $t_0 = 27\ {}^{\circ}\mathrm{C}$ ( $T_0 = 300\ \mathrm{K}$ ), налягането на наситените водни пари е:

P_s = 3{,}6\cdot10^3\ \mathrm{Pa}.

[0,2 т]
От дефиницията на относителна влажност следва, че парциалното налягане на водните пари във въздуха е:

P_v = \eta P_s = 1{,}8\cdot10^3\ \mathrm{Pa}.

[0,2 т]
За определен обем $V$ въздух, от закона на Клапейрон-Менделеев следва:

P_v V = n_v R T_0,

[0,2 т]
където $n_v$ е броят молове водни пари, които се съдържат в обема. Понеже масата на водните пари в избрания обем, е

m_v = n_v M,

получаваме:

m_v = \frac{P_v M V}{R T_0}

[0,2 т]
и намираме абсолютната влажност на въздуха:

\rho = \frac{P_v M}{R T_0}

[0,5 т]

\rho = 1{,}3\cdot10^{-2}\ \mathrm{kg/m^3}.

[0,5 т]
Според закона на Далтон, налягането $P_0$ на въздуха в дадения обем $V$ се определя от общия брой молове $n$ в обема:

P_0 V = n R T_0.

[0,2 т]
Следователно, относителната моларна концентрация на водните пари е:

x = \frac{n_v}{n} = \frac{P_v}{P_0}

[0,5 т]

x = 1{,}8\cdot10^{-2} = 1{,}8\ \%.

[0,5 т]

Б) Разглеждаме обем въздух $V_0$ на морското ниво, където неговото налягане е $P_0$ , а абсолютната му температура – $T_0$ . На дадена височина $h$ , където атмосферното налягане е $P$ , същото количество въздух заема обем $V$ , такъв че:

PV^{\gamma} = P_0 V_0^{\gamma}.

[0,5 т]
Понеже $V \sim T/P$ , където $T$ е температурата на въздуха на същата височина, намираме:

\frac{T^{\gamma}}{P^{\gamma - 1}} = \frac{T_0^{\gamma}}{P_0^{\gamma - 1}}

или

P = P_0\left(\frac{T}{T_0}\right)^{\gamma/(\gamma - 1)} = P_0\left(\frac{T}{T_0}\right)^{\frac{7}{2}}.

[0,5 т]
Понеже относителната моларна концентрация на парите не се променя при издигане на въздуха, за парциалното налягане на водните пари при температура $T$ получаваме:
(1)

P_v = xP = xP_0\left(\frac{T}{T_0}\right)^{\frac{7}{2}}.

[1,0 т]

В) Облаци започват да се образуват, когато въздухът се охлади до температура $T$ , такава, че:

P_v(T) = P_s(T).

За да определим температурата на въздуха, при която парите кондензират, преобразуваме зависимостта (1) в зависимост от Целзиевата температура $t$ :

P_v = 1{,}8\cdot10^3\left(\frac{t + 273}{300}\right)^{3{,}5}\ \mathrm{Pa}.

[0,5 т]
Ако разгледаме относителното изменение на температурата $(t - 27)/300$ като малка величина, получаваме приблизително:

P_v \approx 1{,}8\cdot10^3\left(1 + 3{,}5\frac{(t - 27)}{300}\right)\ \mathrm{Pa}.

[0,5 т]
Построяваме графика на тази функция на фиг. 2, а, и по пресечната ѝ точка с графиката на зависимостта $P_s(t)$ намираме температурата на кондензация: [1,0 т]

t \approx 13\ {}^{\circ}\mathrm{C}

[1,0 т]
и съответното парциално налягане на водните пари:

P_v \approx 1{,}5\cdot10^3\ \mathrm{Pa}.

[0,5 т]
Атмосферното налягане съответно е:

P = \frac{P_v}{x} \approx 83\cdot10^3\ \mathrm{Pa}.

[0,5 т]
От фиг. 2, б намираме височината, на която атмосферното налягане има тази стойност, т. е. височината, на която парите кондензират и се образуват облаци: [0,5 т]

h \approx 1700\ \mathrm{m}.

[0,5 т]

Същата графика Ps(t) от условието, върху която е построена правата на зависимостта Pv(t) и е отбелязана точката на пресичане с надпис „t ≈ 13 °C; Pv ≈ 1,5·10³ Pa“. — Фиг. 2, а (с построения)

Същата графика P(h) от условието с пунктирни линии, водещи до точката h ≈ 1700 m при P ≈ 83·10³ Pa. — Фиг. 2, б (с построения)

Оригинал в Архива: proletni_2005_STproblems.pdf · официални решения: proletni_2005_STsolutions.pdf