Съдържание

НПСФ 2006, 8. клас — Задача 1. Пътища и автомобили (две независими подусловия)

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2006

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА · Национално пролетно състезание по физика · Пловдив, 17 – 19 март 2006 г. · Тема за 8 клас · 17 март 2006 г.

Условие

А) Автобус се движи от София до Пловдив, разстоянието между които е $L = 144\ \mathrm{km}$ . През първата половина от пътя той се движи със скорост $V_1$ , а през втората половина от пътя – със скорост $V_2$ .

а) намерете средната скорост на автобуса $V_{\mathrm{cp}}$ [2 т.]

б) изчислете $V_{\mathrm{cp}}$ , ако $V_1 = 80\ \mathrm{km/h}$ , а $V_2 = 120\ \mathrm{km/h}$ [1 т.]

в) изчислете времето на пътуване $t_{\mathrm{общо}}$ на автобуса [1 т.]

Б) Шофьор, който не бил сигурен, че ще му стигне горивото, също тръгнал с кола от София за Пловдив (разстоянието между които е $L = 144\ \mathrm{km}$ ) като се движел по следния странен начин: след запалване на двигателя, колата се движела равноускорително с ускорение $a_1 = 1{,}5\ \mathrm{m/s^2}$ . След достигане на скорост $V_{\max} = 108\ \mathrm{km/h}$ , шофьорът изключвал двигателя, при което колата се движела равнозакъснително с ускорение $a_2 = 0{,}5\ \mathrm{m/s^2}$ , докато спре. След което шофьорът веднага отново запалвал двигателя и всичко се повтаряло. Намерете:

г) Времето $T$ между две спирания [2 т.]

д) пътят $l$ , изминат от автомобила, между две спирания [2 т.]

е) общия брой запалвания $N$ на двигателя [1 т.]

ж) общото време на пътуване на колата $T_{\mathrm{общо}}$ [1 т.]

Отговори

Решение

А)
а) средната скорост на автобуса $V_{\mathrm{cp}}$ може да се представи така

V_{cp} = \frac{L}{t} = \frac{L}{t_1 + t_2} \quad [\textbf{0,5 т}] \qquad (1.1)

където $t_1$ и $t_2$ са времената, за които автобуса се движи съответно със скорост $V_1$ и $V_2$ . Тези времена могат да се изразят чрез изминатия път и скоростта:

t_1 = \frac{L/2}{V_1}, \qquad t_2 = \frac{L/2}{V_2} \quad [\textbf{0,5 т}] \qquad ((1.2), (1.3))

Замествайки (1.2) и (1.3) в (1.1) се получава

V_{cp} = \frac{L}{t_1 + t_2} = \frac{L}{\dfrac{L/2}{V_1} + \dfrac{L/2}{V_2}} = \frac{2V_1 V_2}{V_1 + V_2} \quad [\textbf{1 т}] \qquad (1.4)

б) при дадените сотйности за скоростите $V_1 = 80\ \mathrm{km/h}$ , а $V_2 = 120\ \mathrm{km/h}$ , от (1.4) за $V_{\mathrm{cp}}$ се получава

V_{cp} = \frac{2V_1 V_2}{V_1 + V_2} = \frac{2 \cdot 80\ \mathrm{km/k} \cdot 120\ \mathrm{km/h}}{80\ \mathrm{km/h} + 120\ \mathrm{km/h}} = 96\ \mathrm{km/h} \quad [\textbf{1 т}] \qquad (1.5)

в) времето на пътуване $t_{\mathrm{общо}}$ на автобуса е

t_{общо} = \frac{L}{V_{cp}} = \frac{144\ \mathrm{km}}{96\ \mathrm{km/h}} = 1{,}5\ \mathrm{h} \quad [\textbf{1 т}] \qquad (1.6)

Б)
г) времето $T$ между две спирания е сума на времената, през които колата се движи равноускорително $t_{\mathrm{уск}}$ и през които колата се движи равнозакъснително $t_{\mathrm{зак}}$ . Те са съответно

t_{уск} = \frac{V_{\max}}{a_1} \quad [\textbf{0,5 т}] \quad \text{и} \quad t_{зак} = \frac{V_{\max}}{a_2} \quad [\textbf{0,5 т}] \qquad ((1.6) и (1.7))

Следователно

T = t_{уск} + t_{зак} = \frac{V_{\max}}{a_1} + \frac{V_{\max}}{a_2} = V_{\max}\ \frac{a_1 + a_2}{a_1 \cdot a_2} = \quad [\textbf{1 т}] \qquad (1.8)

= 108\ \mathrm{km/h} \cdot \frac{1{,}5\ \mathrm{m/s^2} + 0{,}5\ \mathrm{m/s^2}}{1{,}5\ \mathrm{m/s^2} \cdot 0{,}5\ \mathrm{m/s^2}} = 30\ \mathrm{m/s} \cdot \frac{8}{3\ \mathrm{m/s^2}} = 80\ \mathrm{s}

д) пътят $l$ , изминат от автомобила между две спирания, е равен на сумата на пътищата $l_{\mathrm{уск}}$ и $l_{\mathrm{зак}}$ , където $l_{\mathrm{уск}}$ е пътят, изминат докато колата се ускорява, а $l_{\mathrm{зак}}$ е пътят, изминат докато колата спира. Те са съответно

l_{уск} = \frac{V_{\max}^2}{2a_1} \quad [\textbf{0,5 т}] \quad \text{и} \quad l_{зак} = \frac{V_{\max}^2}{2a_2} \quad [\textbf{0,5 т}] \qquad (1.9)

Следователно

l = l_{уск} + l_{зак} = \frac{V_{\max}^2}{2a_1} + \frac{V_{\max}^2}{2a_2} = V_{\max}^2\ \frac{a_1 + a_2}{2 a_1 a_2} = \quad [\textbf{1 т}] \qquad (1.8)

= (108\ \mathrm{km/h})^2 \cdot \frac{1{,}5\ \mathrm{m/s^2} + 0{,}5\ \mathrm{m/s^2}}{2 \cdot 1{,}5\ \mathrm{m/s^2} \cdot 0{,}5\ \mathrm{m/s^2}} = (30\ \mathrm{m/s})^2 \cdot \frac{4}{3\ \mathrm{m/s^2}} = 1200\ \mathrm{m} = 1{,}2\ \mathrm{km}

е) общия брой запалвания $N$ на двигателя е равен на целият път $L$ , разделен на пътя $l$ между две спирания:

N = \frac{L}{l} = \frac{144\ \mathrm{km}}{1{,}2\ \mathrm{km}} = 120\ \text{пъти} \quad [\textbf{1 т}] \qquad (1.9)

ж) общото време на пътуване на колата $T_{\mathrm{общо}}$ е равно на времето между две спирания $T$ , умножено по общия брой запалвания $N$ на двигателя:

T_{общо} = T \cdot N = 80\ \mathrm{s} \cdot 120 = 9600\ \mathrm{s} = 160\ \mathrm{min} = 2\,\mathrm{h}\,40\ \mathrm{min} \quad [\textbf{1 т}] \qquad (1.10)

Оригинал в Архива: proletni_2006_8problems.pdf · официални решения: proletni_2006_8solutions.pdf