НПСФ 2006, 8. клас — Задача 2. Магнитни сили

• а) 0.5625

  В източника: $m_1/m_2 = t_1^2/t_2^2 = 9/16$ (или ≈ 0,56)

• б) 2.4 s

• в) 1.78

  В източника: $E_{k1}/E_{k2} = t_2^2/t_1^2 = 16/9$ (или ≈ 1,78)

а) Двете колички си взаимодействат с еднакви по големина сили $F$, насочени в противоположни посоки. Под действие на тези сили те се движат с постоянни ускорения:

(2.1) $a_1 = \dfrac{F}{m_1}$ и $a_2 = \dfrac{F}{m_2}$. [1 т.]

Когато втората количка е неподвижна, е изпълнено равенството:

(2.2) $s = \dfrac{a_1 t_1^2}{2}$,

където $s$ е началното разстояние между количките.
Когато първата количка е неподвижна:

(2.3) $s = \dfrac{a_2 t_2^2}{2}$.

От тези равенства изразяваме ускоренията, с които се движат двете колички:

(2.4) $a_1 = \dfrac{2s}{t_1^2}$ и $a_2 = \dfrac{2s}{t_2^2}$. [1 т.]

От уравнения (2.1) и (2.4) намираме:

(2.5) $\dfrac{m_1}{m_2} = \dfrac{t_1^2}{t_2^2} = \dfrac{9}{16}$ (или ≈ 0,56). [1 т.]

б) Когато и двете колички са свободни, те се движат със същите ускорения и до срещата изминават пътища:

(2.6) $s_1 = \dfrac{a_1 t^2}{2}$ и $s_2 = \dfrac{a_2 t^2}{2}$. [1 т.]

От условието:

(2.7) $s = s_1 + s_2$, [1 т.]

и уравненията (2.4) получаваме:

(2.8) $s = \dfrac{st^2}{t_1^2} + \dfrac{st^2}{t_2^2}$ (или еквивалентно у-ние) [1 т.]

откъдето намираме времето до срещата:

(2.9) $t = \dfrac{t_1 t_2}{\sqrt{t_1^2 + t_2^2}} = 2{,}4\ \mathrm{s}$ $\left(t^2 = \dfrac{(t_1 t_2)^2}{t_1^2 + t_2^2}\right)$ [1 т.]

в) Кинетичните енергии на количките в момента на удара са равни на работите, които извършват силите на взаимодействие:

(2.10) $E_{k1} = Fs_1$ и $E_{k2} = Fs_2$. [1 т.]

Като използваме изразите (2.5), намираме:

(2.11) $\dfrac{E_{k1}}{E_{k2}} = \dfrac{s_1}{s_2} = \dfrac{a_1}{a_2}$ [1 т.]

От изразите (2.4) за ускоренията намираме окончателно:

(2.12) $\dfrac{E_{k1}}{E_{k2}} = \dfrac{t_2^2}{t_1^2} = \dfrac{16}{9}$ (или ≈ 1,78). [1 т.]