НПСФ 2008, 11–12 клас — Задача 1. Тяло се спуска по наведена равнина.

• 1) Сила на тежестта $m\vec g$, реакция на опората $\vec R$ и сила на триене $\vec F_{TP}$ (Фигура 1а).

• 2) $k = \mathrm{tg}\,\alpha$

• 3) $a = g\left(\sin\beta - \mathrm{tg}\,\alpha\cos\beta\right) = g\,\frac{\sin(\beta-\alpha)}{\cos\alpha}$

• 4) $t = \sqrt{\frac{2l}{a}} = \sqrt{\frac{2h\cos\alpha}{g\sin\beta\,\sin(\beta-\alpha)}}$

  Дължината на наведената равнина при ъгъл $\beta$ е $l = h/\sin\beta$.

• 5) $A_\alpha = mgh,\qquad A_\beta = \frac{\mathrm{tg}\,\alpha}{\mathrm{tg}\,\beta}\,mgh$

  Големината на работата на силата на триене; при равномерното спускане (ъгъл $\alpha$) тя е точно $mgh$.

1) На тялото действат сила на тежестта $m\vec{g}$, реакция на опората $\vec{R}$ и сила на триене $\vec{F}_{TP}$, Фигура 1а. [1 т.]

2) При наклон на равнината $\alpha$ от втория закон на динамиката следва:

След разлагане на това векторно равенство по осите x, y се получават следните две равенства:

За силата на триене при хлъзгане е валидно равенството $F_{TP} = kR$, където k е коефициента на триене. След комбиниране на последните равенства се получава:

3) При ъгъл на наклона $\beta$ разлагането на силите по двете оси води до следните равенства:

Заедно с равенството $F_{TP} = kR = \mathrm{tg}\,\alpha\,R$ се получава:

4) Дължината на наведената равнина е $l = h/\sin\beta$. Времето, за което тялото ще се спусне по наклонената равнина в този случай се определя от израза: $l = \dfrac{at^2}{2}$:

5) Работата на силата на триене определяме чрез израза: $A = F_{TP}\,l$. При ъгъл на наклона $\alpha$:

При ъгъл на наклона $\beta$: