Съдържание

НПСФ 2014, 11–12 клас — Задача 1. Махало

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2014

Национално пролетно състезание по физика 2014, тема за 11. – 12. клас · 15 март 2014 г. · 10 т.

Условие

Дадено е малко топче с маса $m = 90\ \mathrm{g}$ и положителен заряд $q = 0{,}25\ \mathrm{\mu C}$ , което е окачено на тънка неразтеглива безмасова непроводяща нишка с дължина $l = 50\ \mathrm{cm}$ , както е показано на фиг. 1. На разстояние $d = 3l/4$ под точката на окачване на нишката е забит малък пирон, който ограничава движението на нишката. В началния момент от времето топчето е отклонено на ъгъл $\alpha_0$ спрямо вертикалата и оставено да се движи свободно. Приемете, че земното ускорение $g = 10\ \mathrm{m/s^2}$ , а константата в закона на Кулон $k = 9\times 10^{9}\ \mathrm{N\cdot m^2/C^2}$ .

Махало, окачено на таван; нишката сключва ъгъл alpha_0 с вертикалата, а на разстояние d под окачването е забит пирон. — Фиг. 1. Топчето с маса $m$ и заряд $q$ на нишка с дължина $l$ ; пиронът е на разстояние $d$ под точката на окачване, а началното отклонение е $\alpha_0$ .

а) Намерете разстоянието $a$ между крайното ляво положение на топчето и крайното му дясно положение по време на неговото люлеене, ако ъгълът $\alpha_0 = 30^\circ$ . [2 т.]

б) Нека махалото е отклонено на даден малък ъгъл $\alpha$ . Като използвате, че за малки ъгли $\cos\alpha \approx 1 - \alpha^2/2$ , намерете ъгъла $\beta$ , който сключва долната част на нишката с вертикалата, когато топчето е в крайно дясно положение. [1 т.]

в) На колко е равен периодът $T$ на малките трептения на системата? [2 т.]

г) На пирона е придаден положителен заряд $Q = 0{,}5\ \mathrm{\mu C}$ . Като приемете пирона за точков заряд и използвате, че за малки ъгли $\sin\alpha \approx \alpha$ в радиани, определете периода $T'$ на малките трептения в този случай. [5 т.]

Отговори

Решение

Махалото в крайно ляво и крайно дясно положение с ъглите alpha, beta и gamma и разстоянието a между двете крайни положения. — Фиг. 1 от решението: означенията $\alpha$ , $\beta$ , $\gamma$ , разстоянието $a$ , радиус-вектора $r$ от пирона (заряд $Q$ ) до топчето.

а) От закона за запазване на механичната енергия следва, че $l\cos\alpha_0 = d + (l-d)\cos\beta$ [1 т.], където $\beta$ е ъгълът, който сключва долната част на нишката с вертикалата при крайно дясно положение на топчето (виж фиг. 1). Разстоянието $a$ между крайното ляво положение на топчето и крайното му дясно положение по време на неговото движение е равно на $a = l\sin\alpha_0 + (l-d)\sin\beta = l\sin\alpha_0 + \sqrt{l^2\sin^2\alpha_0 - 2ld(1-\cos\alpha_0)} = 0{,}36\ \mathrm{m}$ . [1 т.]

б) Използваме, че уравнението $l\cos\alpha = d + (l-d)\cos\beta$ при малки ъгли се превръща в $l\alpha^2 = (l-d)\beta^2$ [0,5 т.], откъдето се получава, че $\beta = \alpha\sqrt{l/(l-d)} = 2\alpha$ . [0,5 т.]

в) Наляво от пирона топчето се люлее като математично махало с дължина на нишката $l$ и съответно период $T_0^{\mathrm{L}} = 2\pi\sqrt{l/g}$ , докато надясно от пирона се държи като математично махало с дължина на нишката $l-d$ и период $T_0^{\mathrm{R}} = 2\pi\sqrt{(l-d)/g}$ . [0,5 т.] Топчето извършва половин период отляво на пирона и половин период отдясно на пирона. [0,5 т.] Това означава, че периодът на малките трептения е $T = \frac{T_0^{\mathrm{L}}}{2} + \frac{T_0^{\mathrm{R}}}{2} = \pi\sqrt{l/g} + \pi\sqrt{(l-d)/g} = \frac{3\pi}{2}\sqrt{\frac{l}{g}} = 1{,}05\ \mathrm{s}$ . [1 т.]

г) В този случай възстановяващата сила, която действа на топчето, когато то е наляво от пирона, има вида $F = -(mg\sin\alpha - kqQ\sin\gamma/r^2)$ . [1 т.] Синусовата теорема ни дава връзката $\frac{\sin\alpha}{r} = \frac{\sin\gamma}{d}$ . [0,5 т.] Следователно $F = -(mg - kqQd/r^3)\sin\alpha$ . [0,5 т.] В приближение на малки ъгли имаме квазиеластична сила $F \approx -\left(mg - \frac{kqQd}{(l-d)^3}\right)\alpha$ . [0,5 т.] Отместването от равновесното положение е приблизително $\alpha l$ . [0,5 т.] Т.е. наляво от пирона махалото се държи като хармоничен осцилатор с период $T^{\mathrm{L}} = 2\pi\sqrt{l\Big/\left(g - \frac{kqQd}{m(l-d)^3}\right)}$ . [0,5 т.] Отдясно на пирона електричната сила е насочена по направление на нишката и съответно няма възстановяваща компонента, от което следва, че движението е като в предната подточка: $T^{\mathrm{R}} = T_0^{\mathrm{R}} = 2\pi\sqrt{(l-d)/g}$ . [0,5 т.] Топчето отново извършва половин период отляво на пирона и половин период отдясно. За периода на малките трептения в този случай получаваме $T' = \frac{T^{\mathrm{L}}}{2} + \frac{T^{\mathrm{R}}}{2} = \pi\sqrt{l\Big/\left(g - \frac{kqQd}{m(l-d)^3}\right)} + \pi\sqrt{(l-d)/g} = 1{,}16\ \mathrm{s}$ . [1 т.]

Оригинал в Архива: proletni_2014_11-12problems.pdf · официални решения: proletni_2014_11-12solutions.pdf