Съдържание

НПСФ 2015, 10. клас — Задача 1. Топлинен двигател

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2015

Национално пролетно състезание по физика – Варна, 7 март 2015 г. Тема за 10. клас · 7 март 2015 г. · 10 т.

Условие

На $p,V$ - диаграмата е показан работният цикъл на топлинен двигател с работно вещество определена маса въздух, която се разглежда като идеален газ. Той включва два изохорни (1-2 и 3-4) и два изобарни (2-3 и 4-1) процеса. Минималната температура на газа е $T_1$ , а максималната – $T_2$ . Състоянията 2 и 4 лежат на една изотерма.

p–V диаграма с правоъгълен цикъл 1-2-3-4 и пунктирана изотерма през точки 2 и 4 — Работният цикъл 1-2-3-4-1 в координати $p$ – $V$ ; пунктирът е изотермата през състоянията 2 и 4.

а) Намерете температурата $T$ на изотермата 2-4. [2 т.]

б) Определете извършената от газа работа $A$ за един работен цикъл. Резултатът изразете чрез минималната $T_1$ и максималната $T_2$ температура на газа и газовата константа $B$ . [3 т.]

в) Пресметнете КПД $\eta$ на работния цикъл, ако е известно че вътрешната енергия на газа в дадено състояние се дава с израза $U = (5/2)BT$ . [3,5 т.]

г) Определете допустимите стойности на $\eta$ за произволни $T_1$ и $T_2$ . [1,5 т.]

Отговори

Решение

а) Идеалният газ има минимална температура $T_1$ в състояние 1 и максимална температура $T_2$ – в състояние 3 [0,5 т.]. За определяне на температурата $T$ може да се използва една от двойките еднотипни изопроцеси. Например, ако означим с $p_1$ налягането в състояние 1, а с $p_2$ – налягането в състояние 2, при изохорния процес 1-2 имаме

\frac{p_1}{T_1} = \frac{p_2}{T},

[0,5 т.]

докато при изохорния процес 3-4 е в сила равенството

\frac{p_2}{T_2} = \frac{p_1}{T}.

[0,5 т.]

От двете равенства следва

T = \sqrt{T_1 T_2}\,.

[0,5 т.]

б) Нека означим с $V_1$ обема на газа при изохорния процес 1-2, а с $V_2$ – обема на газа при изохорния процес 3-4. Идеалният газ върши работа само при изобарните процеси. Тогава имаме

A = A_{2-3} + A_{4-1} = p_2(V_2 - V_1) + p_1(V_1 - V_2) = (p_2 - p_1)(V_2 - V_1).

[1 т.]

От уравнението на състояние за определена маса идеален газ, приложено за състоянията 1, 2, 3 и 4, следва

p_1 V_1 = BT_1,\qquad p_2 V_1 = BT,\qquad p_2 V_2 = BT_2,\qquad p_1 V_2 = BT,

[1 т.]

откъдето намираме

A = B(T_2 + T_1 - 2T) = B\left(\sqrt{T_2} - \sqrt{T_1}\right)^2.

[1 т.]

в) По определение КПД се дава с израза

\eta = \frac{A}{Q},

[0,5 т.]

където $Q$ е количеството топлина, което получава работното вещество за един работен цикъл. Това става при изохорното нагряване 1-2, последвано от изобарното разширение 2-3. Тогава от първия принцип на термодинамиката следва

Q = U_3 - U_1 + A_{2-3} = \frac{5}{2}B(T_2 - T_1) + p_2(V_2 - V_1)

[1 т.]

= \frac{5}{2}B(T_2 - T_1) + B\left(T_2 - \sqrt{T_1 T_2}\right)

[0,5 т.]

= \frac{1}{2}BT_2\left(1 - \sqrt{\frac{T_1}{T_2}}\right) \times \left(7 + 5\left(\sqrt{\frac{T_1}{T_2}}\right)\right).

[0,5 т.]

Като използваме израза за $A$ от пункт б), за КПД получаваме

\eta = \frac{2\left(1 - \sqrt{T_1/T_2}\right)}{7 + 5\sqrt{T_1/T_2}}\,.

[1 т.]

г) КПД на топлинния двигател зависи само от възможните стойности на $x = \sqrt{T_1/T_2}$ , които удовлетворяват неравенствата $0 < x < 1$ [0,5 т.]. Тогава стойностите на КПД удовлетворяват неравенствата

0 < \eta < \frac{2}{7} \approx 0{,}29\,.

[1 т.]

Оригинал в Архива: proletni_2015_10problems.pdf · официални решения: proletni_2015_10solutions.pdf