Съдържание

НПСФ 2015, 11–12 клас — Задача 1. Кондензатори

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2015

Национално пролетно състезание по физика – Варна, 7 март 2015 г., тема за 11.-12. клас · 7 март 2015 г. · 10 т.

Условие

Схема на два плоски кондензатора, свързани последователно между точки A и B: левият с диелектрик върху половината от лицето на плочите, десният с диелектрик, запълващ половината от разстоянието между плочите. — Фиг. 1 — двата плоски кондензатора, свързани последователно между краищата A и B; левият е запълнен наполовина по лице, десният — наполовина по дебелина.

Два плоски кондензатора с еднакви размери са свързани, както е показано на фиг. 1. Лицата на клемите на кондензаторите са $S = 0{,}5\ \mathrm{m^2}$ , а разстоянията между плочите им са $d = 2\ \mathrm{mm}$ . Кондензаторите са запълнени наполовина с диелектрик с диелектрична проницаемост $\varepsilon > 1$ по два различни начина, както е показано на фигурата. Може да използвате, че електричната константа има стойност $\varepsilon_0 = 8{,}85 \times 10^{-12}\ \mathrm{C^2/(N.m^2)}$ .

а) Кой от двата кондензатора е с по-голям капацитет – левият или десният? Обосновете отговора си. [3 т.]

б) В следващите подточки използвайте, че капацитетът на единия от кондензаторите е двойно по-голям от капацитета на другия кондензатор.

Намерете на колко е равно $\varepsilon$ . Определете капацитета $C$ на системата от двата кондензатора. [4 т.]

в) Между краищата A и B е подадено напрежение $U = 30\ \mathrm{V}$ . Намерете зарядите на двата кондензатора. Каква е общата енергия $W$ , натрупана в кондензаторите? [2 т.]

г) Между краищата A и B е свързана бобина с индуктивност $L = 10\ \mathrm{mH}$ . Намерете честотата $\nu$ на свободните електромагнитни трептения в електрическата верига. [1 т.]

Отговори

Решение

Еквивалентна схема на свързването на двата кондензатора между A и B. — Фиг. 1 (решение) — еквивалентната схема: левият кондензатор е два успоредно свързани кондензатора с лица $S/2$ и разстояние $d$ , а десният — два последователно свързани кондензатора с лице $S$ и разстояние $d/2$ .

а) Еквивалентната схема на свързване е показана на фиг. 1. Левият кондензатор от условието е еквивалентен на системата от успоредно свързани кондензатори, а десният отговаря на двата последователно свързани кондензатори. Капацитетът на левия кондензатор е равен на $C_L = \frac{\varepsilon_0 S}{2d} + \frac{\varepsilon_0\varepsilon S}{2d} = \frac{\varepsilon_0(\varepsilon+1)S}{2d}$ [0,5 т], а капацитетът на десния е $C_R = \frac{2\varepsilon_0\varepsilon S}{d(\varepsilon+1)}$ . [1 т] Да разгледаме израза $C_L - C_R = \frac{\varepsilon_0 S}{2(\varepsilon+1)d}\left[(\varepsilon+1)^2 - 4\varepsilon\right] = \frac{\varepsilon_0(\varepsilon-1)^2 S}{2(\varepsilon+1)d} > 0$ . [1 т] Оттук следва, че левият кондензатор е с по-голям капацитет от десния. [0,5 т]

б) Дадено е, че капацитетът на единия от кондензаторите е двойно по-голям от капацитета на другия кондензатор, т.е. $C_L = 2C_R$ . Получаваме, че $\frac{\varepsilon_0(\varepsilon+1)S}{2d} = \frac{4\varepsilon_0\varepsilon S}{d(\varepsilon+1)}$ . [0,5 т] Оттук следва квадратично уравнение за $\varepsilon$ от вида $\varepsilon^2 - 6\varepsilon + 1 = 0$ . [0,5 т] Т.е. $\varepsilon = 3 + 2\sqrt{2} \approx 5{,}8$ . [1 т] Така за капацитета на цялата система се получава $C = \frac{C_LC_R}{C_L+C_R} = \frac{2C_R}{3} = \frac{4\varepsilon_0\varepsilon S}{3d(\varepsilon+1)} \approx 2{,}5$ nF. [2 т]

в) Двата кондензатора са свързани последователно, от което следва, че имат еднакви заряди $q = CU \approx 76$ nC. [1 т] Общата енергия, натрупана в кондензаторите, е $W = \frac{CU^2}{2} \approx 1{,}1$ μJ. [1 т]

г) Честотата на свободните електромагнитни трептения в електрическата верига се дава от формулата $\nu = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} \approx 32$ kHz. [1 т]

Оригинал в Архива: proletni_2015_11-12problems.pdf · официални решения: proletni_2015_11-12solutions.pdf