Съдържание

НПСФ 2015, Специална тема — Задача 1. Падаща стълба

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2015

Национално пролетно състезание по физика, 7 март 2015 г. — Специална тема · 7 март 2015 г. · 10 т.

Условие

Еднородна стълба с маса $m$ и дължина $2l$ е подпряна на хоризонтален под и вертикална стена. Триене няма. Земното ускорение е $g$ . Първоначално стълбата е в покой и сключва начален ъгъл $\beta$ с пода. След като се освобождава, тя започва да пада.

Упътване: Инерчният момент на еднородна пръчка с маса $m$ и дължина $l$ около ос на въртене, перпендикулярна на пръчката и минаваща през центъра на масата й, е $I = \frac{1}{12}ml^2$ .

а) Каква е траекторията на движение на центъра на масата на стълбата, докато двата й края опират съответно в пода и стената? [1 т.]

б) Намерете зависимостта на ъгловата скорост $\omega$ на стълбата от ъгъла $\alpha$ , който сключва стълбата с пода по време на падането й (докато двата й края опират съответно в пода и стената). [3 т.]

в) Намерете зависимостта на ъгловото ускорение $\varepsilon$ на стълбата от ъгъла $\alpha$ , който сключва стълбата с пода по време на падането й (докато двата й края опират съответно в пода и стената). [1 т.]

г) Изчислете ъгъла $\gamma$ между стълбата и пода, при който горният край на стълбата ще се отлепи от стената. [3 т.]

д) Изчислете силата на реакция на опората $R_1$ , действаща на стълбата от страна на пода, в момента когато горният край на стълбата ще се отлепи от стената. [2 т.]

Отговори

Решение

а) Центърът на масата на стълбата ще се намира на разстояние $l$ от точката, където се пресичат пода и стената (свойство на медианата към хипотенузата в правоъгълен триъгълник). [0.5 т.] Следователно, докато двата края на стълбата опират съответно в пода и стената, траекторията на движение на центъра на масата й ще бъде окръжност с радиус $l$ . [0.5 т.]

б) Тъй като няма триене, механичната енергия на стълбата се запазва. [0.5 т.] Отчитайки промяната на потенциалната енергия, кинетичната енергия на въртеливото движение на стълбата и на постъпателното движение на центъра С на масата й, се получава:

mgl\sin\beta = mgl\sin\alpha + \frac{1}{2}\frac{1}{12}m(2l)^2\omega^2 + \frac{1}{2}mv_C^2.

[1 т.] Тъй като центърът на масата на стълбата се движи по окръжност, $v_C = l\omega$ . [0.5 т.] Тогава

\omega = \sqrt{\frac{3g}{2l}(\sin\beta - \sin\alpha)}. \qquad (1.1)

[1 т.]

в) Пренаписваме (1.1) във вида $g\sin\beta = g\sin\alpha + \frac{2}{3}l\omega^2$ . Диференцирайки по времето, се получава $0 = g\cos\alpha\,\omega + \frac{2}{3}l2\omega\varepsilon$ , [0.5 т.] откъдето

\varepsilon = -\frac{3g}{4l}\cos\alpha. \qquad (1.2)

[0.5 т.]

г) На стълбата действат три сили – две вертикални (силата на тежестта $mg$ и реакцията на опората $R_1$ от пода) и една хоризонтална (реакцията на опората $R_2$ от стената). [0.25 т.] Следователно $R_2 = ma_x$ , където $a_x$ е хоризонталната компонента на ускорението на центъра на масата на стълбата. От друга страна центростремителното ускорение на центъра на масата при движението му по окръжността е $a_n = l\omega^2$ , (1.3) [0.25 т.] тангенциалното ускорение на центъра на масата при движението му по окръжността е $a_t = l|\varepsilon|$ (1.4). [0.25 т.] Тогава $a_x = a_t\sin\alpha - a_n\cos\alpha$ . [0.25 т.] В момента на отлепването на горния край на стълбата от стената $R_2 = 0$ и $\alpha = \gamma$ . Следователно $0 = l|\varepsilon|\sin\gamma - l\omega^2\cos\gamma$ . [1 т.] Замествайки с (1.1) и (1.2), след преобразования

\sin\gamma = \frac{2}{3}\sin\beta. \qquad (1.5)

[1 т.]

д) В момента на отлепването на горния край на стълбата от стената $R_1 - mg = ma_y$ , [0.25 т.] където $a_y = -a_t\cos\gamma - a_n\sin\gamma$ . [0.25 т.] След заместване на ускоренията от (1.3) и (1.4) се получава $R_1 = mg - ma_t\cos\gamma - ma_n\sin\gamma =$ [0.25 т.]

= m\left[g - l\frac{3g}{4l}(\cos\gamma)^2 - l\frac{3g}{2l}(\sin\beta - \sin\gamma)\sin\gamma\right].

[0.25 т.] Използвайки (1.5), се получава $R_1 = \frac{mg}{4}$ . [1 т.]

Оригинал в Архива: proletni_2015_STproblems.pdf · официални решения: proletni_2015_STsolutions.pdf