Съдържание

НПСФ 2018, 10. клас — Задача 1. Лампов диод

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2018

Национално пролетно състезание по физика 2018, тема за 10. клас (четвърта състезателна група) · 9 март 2018 г. · 10 т.

Условие

Ламповите диоди са електронни компоненти, наподобяващи газоразрядна лампа с два електрода – анод и катод. Принципът на работа на ламповия диод е следният: с помощта на нагревател катодът (К) се нагрява до температура, при която от него започват да се отделят електрони, които формират електронен облак. Когато на анода (А) се подаде положително напрежение $U$ спрямо катода, електроните се привличат от анода и през диода протича ток $I$ . Волт–амперната характеристика както и схематично представяне на такъв диод са показани на Фигура 1. За малки напрежения зависимостта на тока от напрежението се дава с израза:

I = bU^n, \qquad (1.1)

където $b$ е константа, която зависи от размерите на диода. Над определена стойност на напрежението токът нараства много бавно, и горната зависимост не е изпълнена. Ако електродите са плоски пластини с площ $S$ , а разстоянието между тях е $d$ , тогава константата $b$ може да се изрази като:

b = \frac{4}{9}\frac{\varepsilon_0 S}{d^2}\sqrt{\frac{2e}{m}}, \qquad (1.2)

където $\varepsilon_0 = 8{,}85.10^{-12}$ F/m е диелектричната проницаемост на вакуума, а $e = 1{,}60.10^{-19}$ C и $m = 9{,}11.10^{-31}$ kg са зарядът и масата на електрона.

Графика на тока I в mA спрямо напрежението U във волтове, с наложена схема на лампов диод. — Фигура 1: волт–амперната характеристика $I(U)$ на ламповия диод и схематично представяне на диода с анод (+) A, катод (–) K и нагревател.

1.1. Определете степенния показател $n$ , участващ в зависимост (1.1), като използвате метода на размерностите. За по-голяма прегледност направете таблица, в която запишете размерностите на всички необходими величини, изразени чрез основните мерни единици в SI. (5 т.)

1.2. Използвайте резултата, получен в 1.1., и волт–амперната характеристика на Фигура 1, за да определите числената стойност на константата $b$ . (2 т.) Ако площта на електродите е $S = 10\ \mathrm{cm^2}$ , оценете времето на полет $\tau$ на електроните при напрежение $U = 11{,}4$ V. Приемете, че началната скорост на електроните е пренебрежимо малка. (3 т.) [5 т.]

Отговори

Решение

Решение: 1.1. При определяне на степенния показател $n$ използваме метода на размерностите, като за целта ще трябва да направим таблица с мерните единици на всички величини, участващи в равенства (1.1) и (1.2):

Величина	Размерност	Размерност чрез основни единици в SI
$I$	A	A
$U$	V	$\mathrm{kg.m^2/A^3}$
$\varepsilon_0$	F/m	$\mathrm{A^2.s^4/kg.m^3}$
$e$	C	A.s
$m$	kg	kg
$S$	$\mathrm{m^2}$	$\mathrm{m^2}$
$d$	m	m

[1,5 т.]

От горната таблица и (1.2) се вижда, че размерността на константата $b$ е:

[b] = \frac{\mathrm{A}^{5/2}\mathrm{s}^{9/2}}{\mathrm{kg}^{3/2}\mathrm{m}^{3}}. \qquad \textbf{[1 т.]}

Като запишем равенство (1.1), но за размерностите на величините, участващи в него, получаваме:

[I] = [b][U]^n \ \text{или}\ \mathrm{A} = \frac{\mathrm{A}^{5/2}\mathrm{s}^{9/2}}{\mathrm{kg}^{3/2}\mathrm{m}^{3}}\left(\frac{\mathrm{kg.m^2}}{\mathrm{A.s^3}}\right)^{n}. \qquad \textbf{[1,5 т.]}

За да бъде изпълнено последното равенство, степенните показатели на еднаквите величини от двете страни на равенството трябва да са равни, откъдето може лесно да видим, че $n = 3/2$ и (1.1) се записва като:

I = bU^{3/2}. \qquad \textbf{[1 т.]}

Решение: 1.2. След като сме определили, че $n = 3/2$ , може да използваме Фигура 1, откъдето може да пресметнем $b$ за няколко точки (поне три) от графиката. За средната стойност на константата получаваме $b = 0{,}58\ \mathrm{mA.V^{-3/2}}$ . [1 т.]

$U$ [V]	$I$ [mA]	$b$ [ $\mathrm{mA.V^{-3/2}}$ ]
20	52	0,58
30	96	0,58
40	148	0,59

[1 т.]

За да определим времето на полет на електроните, трябва да знаем разстоянието $d$ между електродите. То може да се намери от (1.2) и числената стойност на $b$ , получена по-горе:

b = \frac{4}{9}\frac{\varepsilon_0 S}{d^2}\sqrt{\frac{2e}{m}} = 2{,}33.10^{-6}\frac{S}{d^2} = 0{,}58.10^{-3},

откъдето получаваме, че $d^2 \approx 4{,}00\ \mathrm{mm^2}$ или $d = 2{,}00$ mm. [0,5 т.] Началната скорост на електроните е пренебрежимо малка, а при фиксирано напрежение те се движат с постоянно ускорение, така че може да изразим времето на полет $\tau$ :

\tau = 2d/v_{\max}, \qquad \textbf{[0,5 т.]}

където $v_{\max}$ се определя от закона за запазване на енергията при зададеното напрежение $U = 11{,}4$ V:

\frac{mv_{\max}^2}{2} = eU,\ \text{откъдето}\ v_{\max} = \sqrt{2eU/m} \approx 2{,}00.10^{6}\ \mathrm{m/s}. \qquad \textbf{[1,5 т.]}

Така за времето, за което електроните прелитат между електродите, получаваме: $\tau = 2{,}00.10^{-9}$ s $= 2{,}00$ ns. [0,5 т.]

Оригинал в Архива: proletni_2018_10problems.pdf · официални решения: proletni_2018_10solutions.pdf