Съдържание

НПСФ 2019, 9. клас — Задача 1. КПД на нагревател

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2019

Национално пролетно състезание по физика 2019, тема за 9. клас (трета състезателна група) · 9 март 2019 г. · 10 т.

Условие

Електрически нагревател с постоянно съпротивление е свързан във верига с реостат (консуматор, чието съпротивление може да се променя), идеален амперметър и източник на напрежение (фиг. 1). При определено съпротивление на реостата във веригата тече ток $I_1 = 0{,}1\ \mathrm{A}$ .

Електрическа верига: източник на напрежение, реостат, идеален амперметър между точки B и C и нагревател; точка A е на долния проводник. — фиг. 1

Когато между точките A и B се свърже допълнително консуматор с неизвестно съпротивление, амперметърът отчита ток $I_2 = 0{,}05\ \mathrm{A}$ . Ако същият консуматор се свърже между точките A и C, амперметърът отчита ток $I_3 = 0{,}3\ \mathrm{A}$ .

а) Начертайте схемите на електрическата верига с включения допълнително консуматор, като означите съпротивлението на реостата с $r$ , съпротивлението на нагревателя с $R_0$ , а съпротивлението на допълнителния консуматор с $R$ . [1,5 т.]

б) Намерете токовете $I_r, I_{R_0}, I_R$ , които протичат съответно през реостата, нагревателя и допълнителния консуматор. [1,5 т.]

в) Изразете еквивалентното съпротивление $R'$ на нагревателя и допълнителния консуматор чрез съпротивлението на нагревателя $R_0$ . [2,5 т.]

г) Изразете съпротивлението на реостата $r$ чрез съпротивлението $R_0$ на нагревателя. [2 т.]

д) КПД (коефициент на полезно действие) $\eta$ на нагревателя в дадена схема се определя като отношение на мощността на нагревателя към общата мощност на всички консуматори във веригата. Определете КПД на нагревателя в схемите, описани в подточка а). [2,5 т.]

Отговори

Решение

а) На фиг. 1 са показани двете схеми на свързване.

Две еквивалентни схеми: вляво допълнителният консуматор R е между A и B (амперметърът мери I2 през R0), вдясно R е между A и C (амперметърът мери общия ток I3). — фиг. 1 — схема а [0,75 т.] и схема б [0,75 т.]

б) Представените на фиг. 1, а и б схеми са еквивалентни, като различно е само включването на амперметъра. На фиг. 1, а той показва тока през нагревателя, т. е.

I_{R_0} = I_2 = 0{,}05\ \mathrm{A}. \qquad [0{,}5\ \text{т.}]

От фиг. 1, б следва

I_r = I_3 = 0{,}3\ \mathrm{A}, \qquad I_R = I_3 - I_2 = 0{,}25\ \mathrm{A}. \qquad [1\ \text{т.}]

в) Допълнителният консуматор и нагревателят са свързани успоредно (фиг. 1,б). Тогава е в сила равенството на напреженията им, т. е. $I_R R = I_2 R_0$ , [0,5 т.] откъдето следва

R = \frac{I_2}{I_R}R_0 = \frac{0{,}05}{0{,}25}R_0 = \frac{1}{5}R_0. \qquad [1\ \text{т.}]

За еквивалентното им съпротивление намираме

R' = \frac{RR_0}{R+R_0} = \frac{\dfrac{R_0}{5}R_0}{\dfrac{R_0}{5}+R_0} = \frac{1}{6}R_0. \qquad [1\ \text{т.}]

г) Да означим напрежението на източника с $U$ . В схемата от условието на задачата реостатът и нагревателят са свързани последователно. Тогава имаме

I_1 = \frac{U}{r + R_0}. \qquad [0{,}5\ \text{т.}]

Ако заменим на фиг. 1, б съпротивленията на нагревателя и допълнителния консуматор, свързани успоредно, с еквивалентното им съпротивление $R'$ , ще имаме същата схема. Тогава

I_3 = \frac{U}{r + R'}. \qquad [0{,}5\ \text{т.}]

Като елиминираме $U$ , получаваме

\frac{I_3}{I_1} = \frac{r + R_0}{r + R'} = 3, \qquad [0{,}5\ \text{т.}]

откъдето намираме $r = \dfrac{1}{4}R_0$ . [0,5 т.]

г) (така е означено в оригинала; по смисъл това е подточка д) Мощността на нагревателя в схемите на фиг. 1 е една и съща и равна на

P_0 = I_2^2 R_0. \qquad [0{,}5\ \text{т.}]

От друга страна общата мощност на всички консуматори е

P = I_3^2(r + R') = \frac{5}{12}I_3^2 R_0. \qquad [1\ \text{т.}]

Тогава за КПД намираме

\eta = \frac{P_0}{P} = \frac{12}{5}\left(\frac{I_2}{I_3}\right)^2 = \frac{1}{15} \approx 0{,}067 = 6{,}7\%. \qquad [1\ \text{т.}]

Оригинал в Архива: proletni_2019_9problems.pdf · официални решения: proletni_2019_9solutions.pdf