Съдържание

НПСФ 2021, 10. клас — Задача 1

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2021

Национално пролетно състезание по физика 2021, тема за X клас (четвърта състезателна група) · 13 март 2021 г. · 10 т.

Условие

Обективът на фотоапарат представлява сложна система от лещи, с помощта на която изображението, което искаме да заснемем, се проектира върху фотографски филм (светочувствителна лента). Опростен модел на фотографския обектив може да се представи като тънка събирателна леща и механизъм, наречен апертура, поставен непосредствено зад лещата. Апертурата представлява кръгъл отвор, чийто диаметър може да се променя, с което се регулира количеството светлина, минаващо през лещата. В нашия модел това ще е еквивалентно да разгледаме леща с променлив диаметър. За различните обективи апертурата ще зависи от размерите им, затова се въвежда така наречената относителна апертура. Това е отношението $f/D$ , където $f$ е фокусното разстояние на лещата, а $D$ е диаметърът ѝ. Друга характеристика на обективите е дълбочината на фокуса – $\Delta a$ . Това е разстоянието между най-близкия и най-далечния обект, който е на фокус. Ако разгледаме точков източник на светлина ще приемаме, че той е на фокус, ако размерът на образа му върху филма не превишава кръг с диаметър $0.03\ \mathrm{mm}$ .

Да разгледаме тънка жичка с дължина $H = 96\ \mathrm{mm}$ , поставена на разстояние $a = 25\ \mathrm{cm}$ пред обектива на фотоапарат. Жичката е на фокус, а дължината на образа ѝ върху лентата е $h = 24\ \mathrm{mm}$ (ширината на образа ѝ е пренебрежимо малка). Ако жичката се отдалечи от обектива с $5\ \mathrm{cm}$ , образът ѝ се разфокусира и ширината ѝ на лентата става $l = 1.5\ \mathrm{mm}$ .

1.1. Докажете, че за тънка събирателна леща с фокусно разстояние $f$ е изпълнено: $\dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}$ , където $a$ е разстоянието между обекта и лещата, а $b$ е разстоянието между лещата и образа на обекта. [1 т.]

1.2. Определете:

разстоянието между лещата на обектива и лентата на фотоапарата; [1 т.]

1.3. фокусното разстояние на обектива; [1 т.]

1.4. диаметъра на апертурата; [2,5 т.]

1.5. относителната апертура на обектива; [0,5 т.]

1.6. дълбочината на фокуса $\Delta a$ като функция на $a$ , $D$ , $f$ и $d$ . (3.5 т.) Пресметнете $\Delta a$ , като използвате стойностите получени по-горе, но с четири пъти по-малка апертура. (0.5 т.) [4 т.]

Отговори

Решение

Решение: 1.1. За да докажем връзката между $f$ , $a$ и $b$ , ще използваме подобните триъгълници $\triangle AOB$ и $\triangle DOC$ (фиг. вляво), от които може да получим, че $H/a = h/b$ . А от подобните триъгълници $\triangle OFE$ и $\triangle DFC$ имаме $H/f = h/(b-f)$ . От последните две съотношения изключваме $H$ и $h$ и получаваме $\dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b}$ . (1 т.)

Схема на тънка събирателна леща с предмет $AB$ с височина $H$ на разстояние $a$ и образ $DC$ с височина $h$ на разстояние $b$; фокусът $F$ е на разстояние $f$ от лещата. — Лъчев ход за извеждане на формулата на тънката леща: подобните триъгълници $\triangle AOB$ , $\triangle DOC$ и $\triangle OFE$ , $\triangle DFC$ .

Схема с два хода на лъчите през една леща — от предмет на разстояние $a$ (образ на $b$) и от предмет на разстояние $a'$ (образ на $b'$); на лентата се получава петно с размер $l$. — Разфокусиране: точка на разстояние $a'$ се фокусира на $b'$ пред лентата, така че върху лентата се вижда петно с ширина $l$ .

Решение: 1.2. Разстоянието между лещата на обектива и лентата може да се изрази чрез увеличението на образа: $b = ah/H = 250\cdot 24/96\ \mathrm{mm} = 62.5\ \mathrm{mm}$ . (0.5 т.)

Решение: 1.3. Фокусното разстояние е $f = ab/(a+b) = 250\cdot 62.5/(250+62.5)\ \mathrm{mm} = 50\ \mathrm{mm}$ . (1 т.)

Решение: 1.4. Ако преместим жичката с $5\ \mathrm{cm}$ назад, тя ще се намира на разстояние $a' = (25+5)\ \mathrm{cm} = 30\ \mathrm{cm}$ от лещата, тогава образът ѝ ще се намира на разстояние $b' = a'f/(a'-f) = 60\ \mathrm{mm}$ зад лещата. (0.5 т.) Нека диаметърът на апертурата е $D$ , а ширината на образа върху филма е $l$ (виж фигурата горе вдясно), тогава имаме следната връзка $D/b' = l/(b-b')$ , (1.5 т.) откъдето за диаметъра на апертурата получаваме $D = b'l/(b-b') = 60\cdot 1.5/(62.5-60)\ \mathrm{mm} = 36\ \mathrm{mm}$ . (0.5 т.)

Решение: 1.5. Относителната апертура е $f/D \approx 1.4$ . (0.5 т.)

Решение: 1.6. За да изразим $\Delta a$ като функция на $a$ , $D$ , $f$ и $d$ , ще разгледаме точков източник, който е фокусиран когато се намира на разстояние $a$ пред обектива. Както видяхме в подусловие 1.4. когато преместим източника на разстояние $a' > a$ точката ще се фокусира пред лентата, а върху лентата ще се вижда петно с определен диаметър. Когато преместим източника на разстояние $a'' < a$ образът ѝ ще се фокусира зад лентата и отново ще виждаме петно с краен размер. Нека подберем разстоянията $a'$ и $a''$ такива, че и в двата случая диаметърът на петното, което се вижда на лентата, не превишава $d$ . В този случай дълбочината на фокуса ще е $\Delta a = a' - a''$ . За определянето на $a'$ може да използваме подусловие 1.4., където вместо $l$ ще използваме $d$ . Така може да запишем: $d/D = b/b' - 1$ , където $b = af/(a-f)$ , а $b' = a'f/(a'-f)$ . Изключвайки $b$ и $b'$ от последните равенства за $a'$ получаваме:

a' = \frac{afD}{fD-(a-f)d}. \qquad \textbf{(1 т.)}

Аналогично може да запишем $d/D = 1 - b/b''$ , (0.5 т.) където $b'' = a''f/(a''-f)$ или:

a'' = \frac{afD}{fD+(a-f)d}. \qquad \textbf{(1 т.)}

Окончателно за дълбочината на фокуса се получава:

\Delta a = a' - a'' = \frac{2afD(a-f)d}{(fD)^2-(a-f)^2d^2} \approx \frac{2afD(a-f)d}{(fD)^2} = \frac{2a(a-f)d}{fD}, \qquad \textbf{(1 т.)}

\Delta a = \frac{2\cdot 250(250-50)\cdot 0.03}{50\cdot 9}\ \mathrm{mm} \approx 6.7\ \mathrm{mm}. \qquad \textbf{(0.5 т.)}

Оригинал в Архива: proletni_2021_10problems.pdf · официални решения: proletni_2021_10solutions.pdf