Съдържание

НПСФ 2023, 10. клас — Задача 1

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2023

Национално пролетно състезание по физика 2023, Тема за X клас (четвърта състезателна група) · 4 март 2023 г. · 10 т.

Условие

U-образна тръба е запълнена с вода като единият ѝ край е отворен, а другият ѝ край е свързан към помпа за въздух, която има манометър за измерване на налягането, което помпата създава. При напомпване налягането на въздуха в тази част на тръбата се повишава. Първоначално нивото на водата в двете части на тръбата е едно и също и манометърът показва нула.

Указание: приемете, че земното ускорение е $g$ , плътността на водата е $\rho_{\mathrm{в}}$ , тази на маслото е $\rho_{\mathrm{м}} < \rho_{\mathrm{в}}$ , атмосферното налягане е $p_0$ , а радиусът на тръбата е $R$ . Когато в тръбата има две течности, границата между тях е във вертикален участък на тръбата.

1.1. Какво налягане показва манометърът, ако след като напомпим с помпата, разликата във височините на двата стълба вода е равна на $h_0$ ? [1,5 т.]

1.2. Помпата се разкача от тръбата и вторият ѝ край също остава отворен. Много бавно в тръбата се налива машинно масло с обем, по-малък от този на водата. При наливането двете течности не се смесват. След установяване на равновесие се вижда, че нивото на водата се е променило с $d$ . Пресметнете разликата в нивата $h$ на двете течности. [1,5 т.]

1.3. Тръбата леко се разклаща така, че течностите в нея започват да трептят хармонично. Пресметнете периода на малките трептения? Приемете, че обемът на водата – $V_{\mathrm{в}}$ , както и този на маслото – $V_{\mathrm{м}}$ , са известни. [7 т.]

Отговори

Решение

Решение 1.1. При напомпване на въздух в тръбата той избутва част от водата и нивото ѝ в отворения край се повишава, докато налягането от двете страни на тръбата не се изравни. Да означим налягането на въздуха от страна на помпата с $p_{\mathrm{в}}$ . При достигане на равновесие трябва да е изпълнено, че $p_{\mathrm{в}} = \rho_{\mathrm{в}}gh_0 + p_0$ . (0.5 т.) Манометърът измерва разликата между абсолютното и атмосферното налягане, (0.5 т.) така че ще показва стойност равна на $p_{\mathrm{м}} = \rho_{\mathrm{в}}gh_0$ . (0.5 т.)

Решение 1.2. Налягането на височината, на която се намира границата между двете течности, трябва да е едно и също и в двете части на тръбата. Ако нивото на водата се е променило с $d$ , а височината на стълба масло означим с $l$ , е изпълнено, че $2d + h = l$ . (0.5 т.) Равенството на наляганията изглежда така $\rho_{\mathrm{м}}gl = \rho_{\mathrm{в}}g2d$ . (0.5 т.) Изразяваме $l = 2d\rho_{\mathrm{в}}/\rho_{\mathrm{м}}$ от последното равенство и заместваме в предното, за да изразим $h = l - 2d = 2d(\rho_{\mathrm{в}}/\rho_{\mathrm{м}} - 1)$ . (0.5 т.)

Решение 1.3. За простота нека използваме означенията от 1.2, като при разклащането на тръбата приемем, че нивото на водата се повишава с $x$ , съответно това на маслото намалява с $x$ . В този случай наляганията от двете страни на тръбата няма да са еднакви и течностите ще се движат под действието на сила $F = S\Delta p = S\left[\rho_{\mathrm{в}}g(2d + x) - \rho_{\mathrm{м}}g(l - x)\right] = (\rho_{\mathrm{м}} + \rho_{\mathrm{в}})gSx = (\rho_{\mathrm{м}} + \rho_{\mathrm{в}})g\pi R^2x$ . (3 т.) Тази сила е пропорционална на отместването $x$ от равновесното положение и играе роля на квазиеластична сила. (0.5 т.) В този случай $(\rho_{\mathrm{м}} + \rho_{\mathrm{в}})g\pi R^2$ е коефициентът на квазиеластичност. (0.5 т.) За периода на трептенията получаваме:

T = 2\pi\sqrt{\frac{m}{k}} = 2\pi\sqrt{\frac{\rho_{\mathrm{м}}V_{\mathrm{м}} + \rho_{\mathrm{в}}V_{\mathrm{в}}}{(\rho_{\mathrm{м}} + \rho_{\mathrm{в}})g\pi R^2}}.

(3 т.)

Оригинал в Архива: proletni_2023_10problems.pdf · официални решения: proletni_2023_10solutions.pdf