НПСФ 2023, 11. клас — Задача 1. Тяло върху кълбо (задачата се състои от две независими части)

Част I

а) На тялото действат три сили: силата на тежестта $\vec{G} = m\vec{g}$ вертикално надолу, силата на опън $\vec{T}$ по протежение на нишката (допирателно на кълбото) и реакцията на опората $\vec{R}$ (вж. фигурата вляво). Удобно е да разложим силата на тежестта в тангенциално и нормално направление на повърхността на кълбото. От условието за равновесие на тялото следва, че $T = mg\sin\theta = \frac{mg\ell}{\sqrt{r^2+\ell^2}} = 0{,}4\ \mathrm{N}$ [1 т.], а големината на силата на натиск е равна на големината на реакцията на опората: $N = R = mg\cos\theta = \frac{mgr}{\sqrt{r^2+\ell^2}} = 0{,}3\ \mathrm{N}$ [1 т.].

б) При въртене на тялото силата на тежестта не се променя, силата на опън нараства, а реакцията на опората намалява така, че векторната сума на трите сили е насочена към вертикалната ос на въртене и има големина $m\omega^2 r\sin\theta$ (центростремителна сила). [0,5 т.] Като разложим новата сила на опън $T'$ и реакция на опората $R'$ в хоризонтално и вертикално направление, ще получим, че $T'\cos\theta - R'\sin\theta = m\omega^2 r\sin\theta$ [0,5 т.], а $T'\sin\theta + R'\cos\theta = mg$ [0,5 т.]. В условието на задачата е дадено, че $T' = 2R'$, откъдето $\omega = \sqrt{\frac{g(2\cos\theta-\sin\theta)}{r\sin\theta(\cos\theta+2\sin\theta)}} = \sqrt{\frac{g(2r-\ell)\sqrt{r^2+\ell^2}}{r\ell(r+2\ell)}} \approx 2{,}8\ \mathrm{rad/s}$. [1,5 т.]

в) Докато тялото е върху кълбото, има ненулева сила на натиск, т.е. при въртене с ъглова скорост $\omega_{\max}$ вече няма да има реакция на опората. В този случай е удобно да разложим силата на опън, която ще означим с $T''$, в хоризонтално и вертикално направление. Получават се следните две уравнения: $T''\cos\theta = m\omega_{\max}^2 r\sin\theta$ и $T''\sin\theta = mg$. [0,5 т.] Оттук $\omega_{\max} = \sqrt{\frac{g\cos\theta}{r\sin^2\theta}} = \frac{\sqrt{g\sqrt{r^2+\ell^2}}}{\ell} \approx 5{,}6\ \mathrm{rad/s}$. [1 т.]

Част II

Нека да означим масата на тялото с $m$. Тялото се е спуснало с $R - h$ надолу до момента на изплъзване от повърхността на кълбото. От закона за запазване на енергията следва, че $\frac{mv^2}{2} = mg(R-h)$, т.е. $v = \sqrt{2g(R-h)}$. [0,5 т.] От друга страна, тогава силата на натиск става равна на нула и центростремителната сила е равна на радиалната компонента на силата на тежестта: $\frac{mv^2}{R} = mg\cos\theta = \frac{mgh}{R}$ (вж. фигурата по-горе). [1 т.] Оттук следва, че $v = \sqrt{gh}$, $2(R-h) = h$, т.е. $h = \frac{2R}{3} = 40\ \mathrm{cm}$. [1 т.] Скоростта $v = \sqrt{\frac{2gR}{3}} = 2\ \mathrm{m/s}$. [1 т.]