НПСФ 2025, 12. клас — Задача 1. Движение на α-частица в електрично и магнитно поле

• а) $v = \sqrt{\frac{2\mathrm{qU}}{\mathrm{m}}} \approx 1{,}0.10^{5}\ \mathrm{m/s}$

• б) $a_1 = \frac{\mathrm{F}_1}{\mathrm{m}} = \frac{\mathrm{qU}}{\mathrm{md}} \approx 4{,}8.10^{11}\ \mathrm{m/s^2}$

  Ускорението $a_1$ променя големината на скоростта, но не и посоката ѝ.

• в) $a_2 = \frac{\mathrm{F}_2}{\mathrm{m}} = \frac{\mathrm{qB}v}{\mathrm{m}} \approx 4{,}8.10^{11}\ \mathrm{m/s^2}$

  Магнитната сила не върши работа, скоростта остава постоянна по големина — ускорението променя само посоката ѝ.

• г) Индукцията B е насочена от нас към равнината на листа (перпендикулярно на равнината на фигурата, навътре).

  Определя се по правилото на дясната ръка от условието силата $\mathrm{F}_2$ да е насочена към центъра на окръжността.

• д) $\mathrm{r} = \frac{\mathrm{m}v}{\mathrm{qB}} \approx 2\ \mathrm{cm},\qquad \sin\beta = \frac{\mathrm{s}}{\mathrm{r}} \approx \frac{1}{2},\qquad \beta \approx 30^{\circ} = \frac{\pi}{6}$

• е) $\mathrm{t} = \mathrm{t}_1 + \mathrm{t}_2 = \frac{2\mathrm{d}}{v} + \frac{\pi \mathrm{m}}{6\mathrm{qB}} \approx 0{,}2\ \mu\mathrm{s} + 0{,}1\ \mu\mathrm{s} \approx 0{,}3\ \mu\mathrm{s}$

а) Изменението на кинетичната енергия на α-частицата е равна на работата на електричната сила

$\dfrac{\mathrm{m}v^2}{2} - 0 = (\mathrm{qE})\mathrm{d} = \mathrm{qU}$ , (0,5 т.)

откъдето намираме

$v = \sqrt{\dfrac{2\mathrm{qU}}{\mathrm{m}}} \approx 1{,}0.10^{5}$ m/s (0,5 т.)

б) В областта $A_1$ на частицата действа постоянната по големина и посока електрична сила

$\mathrm{F}_1 = \mathrm{qE} = \dfrac{\mathrm{qU}}{\mathrm{m}}$ , (0,5 т.)

която определя ускорението

$\mathrm{a}_1 = \dfrac{\mathrm{F}_1}{\mathrm{m}} = \dfrac{\mathrm{qU}}{\mathrm{md}} \approx 4{,}8.10^{11}$ m/s$^2$ (1 т.).

Ускорението $a_1$ променя големината на скоростта, но не и посоката ѝ. (0,25 т.)

в) Тъй като магнитната сила е перпендикулярна на скоростта $v$ на частицата, тя не върши работа и по този начин кинетичната ѝ енергия остава постоянна. (0,25 т.) Следователно скоростта на α-частицата е постоянна по големина. (0,25 т.) Тогава ускорението в областта $A_2$ е

$a_2 = \dfrac{\mathrm{F}_2}{\mathrm{m}} = \dfrac{\mathrm{qB}v}{\mathrm{m}} \approx 4{,}8.10^{11}$ m/s$^2$ . (1 т.)

То променя само посоката на скоростта. (0,25 т.)

г) Индукцията B е перпендикулярна на скоростта $v$ и силата $\mathrm{F}_2$ , която е насочена към центъра на окръжността, дъга от която е траекторията на частицата. Съгласно с правилото на дясната ръка ндукцията B е насочена от нас към равнината на листа (1 т.).

д) Търсеният ъгъл ще намерим чрез равенството

$\sin\beta = \dfrac{\mathrm{s}}{\mathrm{r}}$ , (0,5 т.)

Тъй като ускорението е

$a_2 = \dfrac{v^2}{\mathrm{r}}$ , (0,5 т.)

намираме

$\mathrm{r} = \dfrac{v^2}{\mathrm{a}_2} = \dfrac{\mathrm{m}v}{\mathrm{qB}} \approx 2$ cm . (1 т.)

Следователно имаме

$\sin\beta \approx \dfrac{1}{2}$ , $\beta \approx 30^{\mathrm{o}} = \dfrac{\pi}{6}$ . (0,5 т.)

е) Общото време на движение в електричното $(\mathrm{t}_1)$ и в магнитното поле $(\mathrm{t}_2)$ е

$\mathrm{t} = \mathrm{t}_1 + \mathrm{t}_2$ . (0,25 т.)

Като отчетем, че

$\mathrm{t}_1 = \dfrac{2\mathrm{d}}{v} \approx 0{,}2\ \mu\mathrm{s}$ , (0,75 т.) $\mathrm{t}_2 = \dfrac{\beta \mathrm{r}}{v} = \dfrac{\pi \mathrm{m}}{6\mathrm{qB}} \approx 0{,}1\ \mu\mathrm{s}$ , (0,75 т.)

окончателно получаваме

$\mathrm{t} = \mathrm{t}_1 + \mathrm{t}_2 \approx 0{,}3\ \mu\mathrm{s}$ (0,25 т.)