НПСФ 2026, 12. клас — Задача 1. Галилеево оръдие

а) Понеже ударът е кратковременен и идеално еластичен важат законите за запазване на импулса и енергията. Откъдето:

Понеже скоростите преди и след удара са различни в общия случай, то $v_1-u_1, v_2-u_2\neq 0$. Така след съкращаване във второто уравнение се получава

което и бе дадено в подсказката. Така получаваме система линейни уравнения, която се решава лесно.

б) Двете топки започват падането си едновременно и следователно непосредствено преди момента, в който долната удря земята, двете топки се движат надолу с еднаква скорост $v=\sqrt{2gh}$. (0.25 т.) Заради малкото разстояние между топките, първо се удря долната, непосредствено след което се движи със скорост $v$ нагоре към горната топка. Малко след това двете топки се удрят. Така в този случай, имаме $v_1=v$ и $v_2=-v$. (0.25 т.) Оттук за скоростта на горната топка след удара се получава:

За височината $H$, на която се издига горната топка след удара, имаме $H=u_2^2/2g$

в) Понеже $m_1\gg m_2$, то $m_2/m_1\ll 1$, откъдето:

г) При повече от две топки, процесът описан горе става каскаден – топка 1 отскача от земята и след това се удря в топка 2, която от своя страна удря топка 3. (0.25 т.)
Допреди удара между топки 2 и 3, всичко е аналогично на разгледания в б) случай.

От своя страна $v_3=-v$, откъдето за $u_3$ се получава:

Топка 3 ще достигне максимална височина, ако след удара с топка 2 тя има максимална скорост, т.е. трябва $u_3$ да е максимална. Това се случва, когато $u_2$ е максимална (следва от горното уравнение). (0.25 т.) За нея обаче имаме

В същото време, при $m_2\ll m_1$ получихме, че $u_2\approx 3v$ (0.25 т.), т.е. при $m_2\ll m_1$ се постига горната граница на $u_2$. Тогава имаме

Виждаме, че отново при $m_3\ll m_2$, когато $m_3/m_2\ll 1$ се постига на практика максималната стойност за $u_3$, а именно $u_3\approx 7v$. (0.5 т.)
Оттук за $H_{\max}$ имаме $\boxed{H_{\max}=7^2h=49h}$. (0.25 т.)

д) При повече от 3 топки, процесът отново е каскаден, като първо топка 1 отскача от земята и след това се удря в топка 2, която от своя страна удря топка 3, която пък се удря в топка 4 и т.н. Нека за улеснение въведем означениято $v_k=-v$ за скоростите на топките преди първият им удар (който е с топка $k-1$), а $u_k$ за скоростите им след първия им удар.

Стъпка 1: Намиране на рекурентна зависимост (1.25 т.)

Вариант 1: Пряко решаване
Тогава имаме:

като $u_1=v$, понеже топка 1 се удря в земята (а не в топка 0, каквато няма в задачата). (0.5 т.)
Аналогично на разсъжденията направени по-горе за $N=3$, за да достигне топка $N$ най-голяма височина трябва да е максимално $u_N$, за което трябва $u_{N-1}$ да е максимално и т.н. (0.25 т.) Това става при $m_{k-1}\gg m_k$ (0.25 т.), при което се получава:

Вариант 2: Съображение на база подсказката
Максимална височина се достига при максимална скорост, която на свой ред се постига при максимална скорост на топката отдолу и т.н. (0.25 т.) При удара, топката отдолу се забавя от $u_{k-1}$ до $w_{k-1}$, като $0<w_{k-1}<u_{k-1}$, защото част от нейния импулс отива за обръщане посоката на скоростта на горната по-лека топка. (0.25 т.) Използвайки подсказката, имаме

Тогава $u_k$ е максимално при $w_{k-1}\to u_{k-1}$, т.е. когато ударът между топки $k$ и $k-1$ на практика не променя скоростта на топка $k-1$ (т.е. на долната топка). Това става при $m_{k-1}\gg m_k$. (0.25 т.) Тогава

Стъпка 2: Решаване на рекурентната зависимост (1.0 т.)

Вариант 1: Анзатц и индукция
Решаваме за първите няколко и получаваме

Забелязваме, че $u_k=(2^k-1)v$. (0.5 т.) Проверяваме по индукция.
За $k=1$, $u_1=u_N=(2^1-1)v=v$ – ОК.
За някакво $k$ е изпълнено, т.е. $u_k=(2^k-1)v$.
За $k+1$ имаме

Така финално $u_N=(2^N-1)v$. (0.5 т.)

Вариант 2: Директно решаване
Получената рекурентна зависимост може да бъде решена и явно.

Откъдето редицата $u_k+v$ образува геометрична прогресия и имаме

Понеже $u_1=v$, то $u_N+v=2^{N-1}(u_1+v)=2^Nv$. Откъдето пък $u_N=(2^N-1)v$. (0.25 т.)

Финално $H_{\max}=u_N^2/2g$ и понеже получихме, че $u_N=(2^N-1)v=(2^N-1)\sqrt{2gh}$, то