Съдържание

НПСФ 2026, 8. клас — Задача 1. Потапяне

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от НПСФ 2026

МИНИСТЕРСТВО НА ОБРАЗОВАНИЕТО И НАУКАТА · ПРОЛЕТНО НАЦИОНАЛНО СЪСТЕЗАНИЕ ПО ФИЗИКА · 06 – 08 март 2026 г., София · Тема за II състезателна група (8. клас) · 6 март 2026 г.

Условие

В цилиндричен съд с лице на дъното $S = 1700\ \mathrm{cm}^2$ са налети вода с плътност $\rho_w = 1000\ \mathrm{kg/m}^3$ и масло с плътност $\rho_o = 800\ \mathrm{kg/m}^3$ . Дебелината на водния слой е $h_w = 20\ \mathrm{cm}$ , а на масления слой е $h_o = 10\ \mathrm{cm}$ . Маслото и водата не се смесват. В съда се пуска дървено кубче с дължина на страната $a = 10\ \mathrm{cm}$ и плътност $\rho_d = 900\ \mathrm{kg/m}^3$ . Кубчето плава така, че част от него е във водата, а другата част е в маслото, без да допира дъното, като две от стените му са хоризонтални, а другите 4 са вертикални. Приемете земното ускорение $g = 10\ \mathrm{m/s}^2$ .

Цилиндричен съд с вода и масло и плаващо дървено кубче; надписи „дървено кубче“, „a = 10 cm“, „Масло, hₒ = 10 cm“, „вода, hᵥ = 20 cm“ и стрелки за височини 10 cm, 10 cm, 20 cm.

а) Определете хидростатичното налягане, което течностите упражняват върху дъното на съда, преди пускането на кубчето. [1 т.]

б) Запишете условието за равновесие на кубчето. [1 т.]

в) Определете каква част от височината на кубчето е потопена във водата и каква в маслото. Определете дали кубчето е изцяло потопено в течностите или част от него остава над повърхността на маслото. [2 т.]

г) С колко сантиметра ще се повиши общото ниво на течността в съда (спрямо дъното) след потапянето на кубчето? [1 т.]

Върху центъра на горната стена на кубчето се поставя малка метална сачма с маса $m$ . Обемът на сачмата е пренебрежим. Кубчето потъва, докато горната му стена съвпадне с границата между водата и маслото (кубчето се намира изцяло във водата).

д) Намерете масата $m$ . [2 т.]

След това сачмата се маха. Вместо нея към кубчето се връзва метално цилиндърче с обем $V_c = 10\ \mathrm{cm}^3$ и плътност $\rho_c = 7800\ \mathrm{kg/m}^3$ . Цилиндърчето е свързано с кубчето чрез лека, неразтеглива и опъната нишка. То виси под кубчето, изцяло потопено във водата, и не допира дъното.

е) Определете новото положение на кубчето. Колко сантиметра от него са потопени във водата и колко – в маслото. [2 т.]

ж) При това положение определете с колко сантиметра се изменя височината на границата вода–масло спрямо първоначалното положение (преди пускането на кубчето). [1 т.]

Отговори

Решение

а) Хидростатичното налягане на дъното е сумата от наляганията на водата и маслото:

$p = \rho_wgh_w + \rho_ogh_o$ (0.5 т.)

$p = 1000\cdot10\cdot0{,}20 + 800\cdot10\cdot0{,}10 = 2000 + 800 = 2800\ \mathrm{Pa}$ . (0.5 т.)

б) Кубчето е в равновесие, когато тежестта му е равна на сумата от изтласкващите сили от водата и маслото:

$\rho_wgV_w + \rho_ogV_o = \rho_dgV$ (1 т.)

в) Нека $x$ е височината на кубчето във водата. Тогава обемите на потопените части са:

$V_w = a^2x, V_o = a^2(a-x)$ . (0,5 т.)

От условието за равновесие: $\rho_wa^2x + \rho_oa^2(a-x) = \rho_da^3$ . (0,5 т.)

Съкращаваме $a^2$ : $\rho_wx + \rho_o(a-x) = \rho_da$ .

Заместваме и пресмятаме:

$1000x + 800(0{,}10-x) = 900\cdot0{,}10$ .

$1000x + 80 - 800x = 90 \Rightarrow 200x = 10 \Rightarrow x = 0.05\ \mathrm{m} = 5\ \mathrm{cm}$ . (0,5 т.)

Следователно в масло е $a-x = 5\ \mathrm{cm}$ . (0,25 т.)

Понеже масленият слой е 10 cm, а кубчето има 5 cm в масло, то остава изцяло потопено в течностите (горната му стена е 5 cm под повърхността на маслото). (0,25 т.)

г) Кубчето е изцяло потопено $\Rightarrow$ изтласква обем течност:

$V = a^3 = 0{,}001\ \mathrm{m}^3$ (0,5 т.)

Повишението на горната повърхност е:

$\Delta h = \frac{V}{S} = \frac{0{,}001}{0{,}17} = 0{,}005882\ \mathrm{m} \approx 0.59\ \mathrm{cm}$ . (0,5 т.)

д) След поставяне на сачмата кубчето потъва така, че горната му стена да съвпадне с границата вода–масло $\Rightarrow$ кубчето е изцяло във водата. Тогава изтласкващата сила върху кубчето: $F_A = \rho_wgV = 1000\cdot10\cdot0{,}001 = 10\ \mathrm{N}$ . (0,5 т.)

Тежестта на кубчето: $F_g = \rho_dgV = 900\cdot10\cdot0{,}001 = 9\ \mathrm{N}$ . (0,5 т.)

Намираме масата: $mg = F_A-F_g = 1\ \mathrm{N} \Rightarrow m = \frac{1}{10} = 0{,}10\ \mathrm{kg} = 100\ \mathrm{g}$ . (1 т.)

е) Цилиндърчето (изцяло във вода) има тежест $G_c = \rho_cgV_c$ и Архимедова сила $F_{A,c} = \rho_wgV_c$ . Опънът на нишката е: $T = G_c-F_{A,c} = (\rho_c-\rho_w)gV_c$ (0,5 т.)

$T = (7800-1000)\cdot10\cdot10^{-5} = 6800\cdot10\cdot10^{-5} = 0{,}68\ \mathrm{N}$ . (0,5 т.)

За да имаме равновесие: $\rho_wgV_w + \rho_ogV_o = \rho_dgV + T$ .

Отново $V_w = a^2x, V_o = a^2(a-x)$ .

Делим на $ga^2$ : $\rho_wx+\rho_o(a-x)=\rho_da+\frac{T}{ga^2}$

Пресмятаме и получаваме:

$1000x+80-800x=90+6{,}8 \Rightarrow 200x=16{,}8 \Rightarrow x=0{,}084\ \mathrm{m}=8{,}4\ \mathrm{cm}$ . (0,75 т.)

Следователно в масло е: $a-x=10-8{,}4=1{,}6\ \mathrm{cm}$ . (0,25 т.)

ж) Промяната на височината на границата се определя от това какъв обем се измества.

С цилиндърчето: кубчето във вода: $V_{w2}=a^2\cdot0{,}084$ и цилиндърчето във вода $V_c$ (изцяло). Следователно допълнително изместеният воден обем спрямо първия случай е:

$\Delta V_w=V_{w2}+V_c=0{,}00085\ \mathrm{m}^3$ (0,5 т.)

Промяната на височината на границата е:

$\Delta h_{\mathrm{гр}}=\frac{\Delta V_w}{S}=\frac{0{,}00085}{0{,}17}=0{,}5\ \mathrm{cm}$ (0,5 т.)

Теми и трудност

Оценена трудност: 4/5.

Флуиди · Архимедова сила · Хидростатика

Предпоставки: Прогимназиална подготовка

Оригинал в Архива: proletni_2026_8problems.pdf · официални решения: proletni_2026_8solutions.pdf