Съдържание

Самара 2013, I кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 10

Оригинал на условието (Word)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2013

Самарская областная астрономическая школа -2013. Олимпиада по астрономии. Олимпиада по астрономии среди учащихся 10-11 классов (заочный тур № 1) Самара, 2012 · 8 т.

Уровень А

Уровень «Новичок» (уровень А)

Уровень B

Уровень «Знаток» (уровень B)

Уровень С

Уровень «Профи» (уровень С)

Условие

Метеороид (метеорное тело), имевший начальную скорость, равную нулю относительно Солнца на бесконечно большом от него расстоянии, начинает падать на Солнце. Какова будет его скорость падения на расстоянии 1.52 а.е. от Солнца. Какова минимальная и максимальная скорость вхождения метеороида в плотные слои атмосферы Марса. (8 баллов).

Отговори

Решение

Условие: Метеороид (метеорное тело), имевший начальную скорость, равную нулю относительно Солнца на бесконечно большом от него расстоянии, начинает падать на Солнце. Какова будет его скорость падения на расстоянии 1.52 а.е. от Солнца. Какова минимальная и максимальная скорость вхождения метеороида в плотные слои атмосферы Марса. (8 баллов).

Решение:

Дано: $r_M = 1.52$ а.е.

Найти: $\eta$ – ?

Согласно условию задачи, тело начинает падать на Солнце из бесконечности, в гравитационном потенциальном поле последнего, следовательно, в силу закона сохранения энергии его потенциальная энергия гравитационного притяжения Солнцем превращается в кинетическую, следовательно:

-\frac{G \cdot m \cdot \mathfrak{M}_{\odot}}{\Delta} = \frac{m\,V_{\text{hc}}^2}{2} - \frac{G \cdot m \cdot \mathfrak{M}_{\odot}}{r_M},

согласно условию задачи $\Delta \to \infty$ , тогда

V_{\text{hc}}^{(0)} = \sqrt{\frac{2\,G\,\mathfrak{M}_{\odot}}{r_M}} = 34.167\,\text{км/с}, \qquad (19)

где $V_{\text{hc}}^{(0)}$ – гелиоцентрическая скорость (относительно Солнца) малого тела (вторая космическая скорость Солнечной системы на данном расстоянии); $G = 6.673 \cdot 10^{-11}$ Н $\cdot$ м $^2$ /кг $^2$ – гравитационная постоянная; $M_{\odot} = 1.989 \cdot 10^{30}$ кг – масса Солнца (взяты из общих справочных астрономических данных). Важно заметить, что $r_M = 1.52$ а.е. – это среднее расстояние Марса от Солнца, то если метеороид пролетает вблизи поверхности планеты, то закон сохранения требует обобщения до вида:

-\frac{G \cdot \mathfrak{M} \cdot \mathfrak{M}_{\odot}}{\Delta} - \frac{G \cdot \mathfrak{M} \cdot \mathfrak{M}_{♂}}{r} = \frac{\mathfrak{M} V_{\text{hc}}^2}{2} - \frac{G \cdot \mathfrak{M} \cdot \mathfrak{M}_{♂}}{R_{♂}} - \frac{G \cdot \mathfrak{M} \cdot \mathfrak{M}_{\odot}}{r_M},

поскольку $r, \Delta \to \infty$ , тогда

V_{\text{hc}}^{(1)} = \sqrt{2G \cdot \left(\frac{\mathfrak{M}_{♂}}{R_{♂}} + \frac{\mathfrak{M}_{\odot}}{r_M}\right)} = 34.494\,\text{км/с}, \qquad (20)

где $V_{\text{hc}}^{(1)}$ — гелиоцентрическая скорость (относительно Солнца) малого тела с учетом гравитационного поля Марса; $\mathfrak{M}_{♂} = 6.419 \cdot 10^{23}$ (кг) — масса Марса, $R_{♂} = 3396$ км – радиус Марса.

Для Марса движущегося по круговой орбите можем записать второй закон Ньютона:

\mathfrak{M}_{♂}\vec{a}_{♂} = -\frac{G\mathfrak{M}_{♂}\mathfrak{M}_{\odot}}{r_M^3}\vec{r}_M,

здесь $\vec{r}_M$ — радиус-вектор Марса, проведенный из центра Солнца, $\vec{a}_{♂}$ — его центростремительное ускорение; Среднее расстояние от Марса до Солнца – $r_M = 1.52$ а.е., где 1 а.е.= 149597870.660 км. В таком движении Марс обладает центростремительным ускорением, равным $a_{♂} = V_{♂}^2/r_M$ , где $V_{♂}$ – орбитальная скорость движения Марса вокруг Солнца. Проецируя исходное уравнение на направление "Марс-Солнце", легко определить $V_{♂}$ :

V_{♂} = \sqrt{\frac{G \cdot \mathfrak{M}_{\odot}}{r_M}} = 24.131\ \text{км/с}. \qquad (21)

Скорость малого тела относительно Марса можно представить в виде:

\vec{V}_{\text{rel}} = \vec{V}_{\text{hc}} - \vec{V}_{♂}, \ \Rightarrow \ V_{\text{rel}} = \sqrt{V_{\text{hc}}^2 + V_{♂}^2 - 2V_{\text{hc}}V_{♂}\cos\alpha}, \qquad (22)

здесь $\alpha$ – угол между направлением движения Марса и вектором гелиоцентрической скорости тела. Из формулы (22) видно, что максимальное значение скорости достигается при $\alpha = \pi$ , т.е. когда гелиоцентрическая скорости тела противоположна направлена по отношению к направлению движения Марса (метеороид встречает Марс с параболической скоростью со стороны апекса — точки на небе, указывающей направление движения Марса вокруг Солнца). Следовательно, $V_{\max} = V_{\text{hc}} + V_{♂} = 58.625$ км/с. Минимальное значение относительной скорости $V_{\min} = V_{\text{hc}} - V_{♂} = 10.363$ км/с.

Т.о., метеорные тела могут иметь следующий диапазон скоростей входа в атмосферу Марса:

10.363\ \text{км/с} \ \le V_{\text{rel}} \le 58.625\ \text{км/с}. \qquad (23)

Ответ: $V_{\text{hc}}^{(0)} = \sqrt{\frac{2\,G\,\mathfrak{M}_{\odot}}{r_M}} = 34.167$ км/с; $V_{\text{hc}}^{(1)} = \sqrt{2G \cdot \left(\frac{\mathfrak{M}_{♂}}{R_{♂}} + \frac{\mathfrak{M}_{\odot}}{r_M}\right)} = 34.494$ км/с – гелиоцентрическая скорость, полученная с учетом гравитации Марса; $V_{\min} = 10.363$ км/с, $V_{\max} = 58.625$ км/с. ( $\text{\textdollar}_{\max} = 8$ баллов).

Оригинал в Архива: [1] Oilmpiada on astronomy[10-11]_SAMRAS_2013.doc · официални решения: TaskDecisions[SAmRAS_2013-1]_10-11 classes.pdf