Самара 2013, I кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 9

• 5.8 m

  $\Delta m \approx 5\lg(y/x) = 5.8^m$.

Условие: У некоторой звезды лучевая скорость не наблюдается, а собственное движение равно $3''$/год. На сколько звездных величин изменилась видимая звездная величины звезды за последний миллион лет? (8 баллов).

Решение:

Дано: $\mu = 3''$/год, $V_r = 0$ км/с, $t = 1$ млн. лет.

Найти: $\Delta m(t)$ – ?

Ведем следующие обозначения согласно рис. 5: $x$ – расстояние до звезды в настоящее время, $y$ – расстояние до звезды миллион лет назад, $V$ – скорость звезды в пространстве. Мы находимся в правом нижнем углу треугольника, миллион лет назад звезда находилась в верхнем углу треугольника, а сейчас – в левом нижнем углу.

Так как лучевая скорость не наблюдается (т.е. $V_r = 0$), то треугольник прямоугольный – в настоящее время вектор скорости звезды перпендикулярен направлению на звезду.

Расстояние до звезды в настоящее время можно выразить как $x = V_{\tau}/\mu = V/\mu$. Заметим, что собственное движение звезды – это (по определению) ее угловая скорость на небесной сфере, которую выгодно представить в рад/сек.

Расстояние до звезды миллион лет тому назад можно определить по теореме Пифагора:

Следовательно, отношение расстояний $y/x$ есть

здесь учтено, что время $t = 1$ млн. лет $= 3.156 \cdot 10^{13}$ сек.

Воспользуемся формулой Погсона для двух звездных величин данной звезды (определенных для двух моментов времени) и законом обратных квадратов:

Проводя вычисления, получаем в итоге $\Delta m \approx 5\lg\left(\frac{y}{x}\right) = 5.8^m$.

Ответ: $\Delta m \approx 5\lg\left(\frac{y}{x}\right) = 5.8^m$. ($\text{\textdollar}_{\max} = 8$ баллов).