Самара 2013, I кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 11

• $M_A = (5.75 \pm 1.05) \cdot 10^{13}\ \text{кг}$

Условие: Космонавт прилетел на астероид, имеющий форму шара, и обошел его по экватору за два часа. Оцените массу астероида, если известно, что средняя плотность астероида меньше средней плотности Марса, а космонавт передвигался со средней скоростью пешехода. (9 баллов).

Решение:

Дано: $\rho_A < \rho_M$, $V_k = 5$ км/ч, $\Delta t = 2$ часа.

Найти: $M_{\min}^A$, $M_{\max}^A$ – ?

Допустим, что средняя скорость пешехода $V_k = 5$ км/ч $\approx 1.4$ м/с. Так как длина экватора астероида радиуса $R_A$ равна

где $\Delta t$ – время, за которое космонавт обошел астероид. Тем самым мы знаем объем астероида

Умножив его на плотность, можем получить массу. Однако нам известно лишь то, что плотность астероида меньше плотности Марса (т.е. меньше $\rho_A < 3933$ кг/м$^3$), и поэтому мы можем получить лишь верхнюю оценку массы астероида:

Можно также оценить плотность снизу. Астероид маленький и его масса явно невелика. Поэтому обход пешком такого астероида возможен только в том случае, если скорость пешехода не окажется большей, чем первая космическая скорость (иначе пешеход просто улетит). Отсюда следует, что

Т.о. масса астероида должна быть заключена в интервале:

Ответ: $M_A = (5.75 \pm 1.05) \cdot 10^{13}$ кг. ($\text{\textdollar}_{\max} = 9$ баллов).