Съдържание

Самара 2013, I кръг (задочен), 8–9 клас — Задача 10

Оригинал на условието (Word)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2013

Олимпиада по астрономии среди учащихся 8-9 классов (заочный тур № 1) Самара, 2012 · 8 т.

Внимание: Бележка към темата

В шапке условий указана Самарская областная астрономическая школа — 2013, а в заголовке темы — «Самара, 2012». На титульном листе официальных решений указан 2013 год; тема сохранена в архивном разделе 2013 года.

Уровень А

Уровень «Новичок» (уровень А)

Уровень B

Уровень «Знаток» (уровень B)

Уровень С

Уровень «Профи» (уровень С)

Условие

Оцените, во сколько раз отличаются скорости низколетящих спутников Земли и Юпитера, если известно, что радиус Юпитера примерно в 10 раз меньше радиуса Солнца.

Отговори

Решение

Условие: Оцените, во сколько раз отличаются скорости низколетящих спутников Земли и Юпитера, если известно, что радиус Юпитера примерно в 10 раз меньше радиуса Солнца. (8 баллов).

Дано: $R_J = \frac{1}{10} R_{\oplus}$ .

Найти: $\eta$ – ?

Решение:

Обозначим массу планеты как $\mathfrak{M}$ , а радиус – $\mathfrak{R}$ . Так как спутники низколетящие, то это означает, что орбиты у спутников круговые и радиус орбиты приближенно равен радиусу соответствующей планеты ( $r_s \approx \mathfrak{R}$ ). Согласно второму закону Ньютона для спутника, движущегося по круговой орбите под действием силы всемирного тяготения, имеем

m_s \frac{V_s^2}{r_s} = \frac{G\,m_s\,\mathfrak{M}}{r_s^2}, \;\Rightarrow\; V_s = \sqrt{\frac{G\,\mathfrak{M}}{\mathfrak{R}}}. \qquad (15)

здесь $m_s, V_s, r_s$ – масса, скорость, радиус орбиты спутника; $G = 6.67 \cdot 10^{-11}$ Н·м $^2$ /кг $^2$ – гравитационная постоянная.

Учтем, также что массу планеты можно представить в виде:

\mathfrak{M} = \rho \cdot V = \rho \frac{4}{3}\pi\,\mathfrak{R}^3, \;\Rightarrow\; V_s = \sqrt{\frac{4\pi}{3} G\,\rho\,\mathfrak{R}^2}. \qquad (16)

Учитывая, что массовая плотность Земли Юпитера и Земли равны (согласно справочным данным) $\rho_{\oplus} = 5.5$ г/см $^3$ , $\rho_J = 1.3$ г/см $^3$ , $R_{\odot} = 109 \cdot R_{\oplus}$ тогда

\eta = \frac{V_J}{V_{\oplus}} = \sqrt{\frac{\rho_J}{\rho_{\oplus}} \frac{\mathfrak{R}_J^2}{\mathfrak{R}_{\oplus}^2}} = \sqrt{10.9^2 \frac{1.3}{5.5}} \approx 5. \qquad (17)

Ответ: $\eta = \frac{V_J}{V_{\oplus}} \approx 5$ ( $\text{\textdollar}_{\max} = 8$ баллов).

Оригинал в Архива: [1] Oilmpiada on astronomy[8-9]_SAMRAS_2013.doc · официални решения: TaskDecisions[SAmRAS_2013-1]_8-9 classes.pdf