Самара 2013, I кръг (задочен), 8–9 клас — Задача 11

• Nmin = 5 лет, Nmax = 12 лет

Условие: В некотором году 1 января пришлось на воскресенье. Найдите минимально возможное и максимально возможное количество лет, которое может пройти до следующего 1 января, которое также придется на воскресенье. (9 баллов).

Дано: 1 января $\leftrightarrow$ воскресенье.

Найти: $N_{\min}$, $N_{\max}$ – ?

Решение:

Как известно, в нашем (григорианском) календаре существует обычные (продолжительность – 365 дней) и високосные (продолжительность – 366 дней) годы. Поделим 365 и 366 на 7 (количество суток в недели). Получим остатки, равные, соответственно, 1 и 2.

Это означает, что если воскресенье 1 января был в високосном году, то следующее 1 января будет вторником, а если в невисокосном – вторником.

Тогда каждые четыре года 1 января будет смещаться на 5 дней недели вперед и очевидно, что сдвиг на 7 дней недели может произойти не менее чем за 5 лет (в течение которых должно быть два високосных года). Первый ответ получен, возможный минимум $N_{\min} = 5$ лет.

Второй ответ получить сложнее. Ясно, что продолжительность цикла без понедельников увеличится в том случае, если в цикле будет високосный год, начинающийся в субботу (назовем его "опорным") - тогда следующий начнется в понедельник. Отсчитывая дни недели 1 января от этого опорного года вперед и назад, получим такую последовательность дней 1 января: воскресенье, понедельник (високосный), вторник, четверг, пятница, суббота (високосный, опорный), понедельник, вторник, среда, четверг(високосный), суббота, воскресенье. Получается последовательность длиной в 11 лет. Сделать так, чтобы в ней два високосных года начинались на воскресенье, уже не удастся - числа 4 (цикл високосных годов) и 7 (цикл дней недели) взаимно просты, поэтому такие года отстоят друг от друга на 28 лет.

Тем не менее улучшить этот результат все же можно. Дело в том, что некоторые года, номера которых делятся на 4, в григорианском календаре не являются високосными. Это года, номера которых делятся на 100 и не делятся на 400 (за всю историю григорианского календаря таких было три - 1700, 1800,1900). Если номер нашего опорного года заканчивался на ...96 и следующий за ним високосный год появлялся только через 8 лет (годятся такие варианты: 1696, 1796, 1896), то конец предыдущей последовательности "четверг (високосный), суббота, воскресенье"превратится в такой: "четверг (невисокосный, номер заканчивается на два нуля), пятница, суббота, воскресенье". Последовательность удлиняется на один год и ее длина достигает 12 лет. Аналогичной будет и ситуация, когда опорный год заканчивается на ...04 – в этом случае последовательность также удлиняется на один год, только спереди. Но так как удлинить ее с двух сторон сразу невозможно, то максимально возможная продолжительность остается равной $N_{\max} = 12$ годам.

Ответ: $N_{\min} = 5$ лет, $N_{\max} = 12$ лет ($\text{\textdollar}_{\max} = 9$ баллов).