Самара 2013, I кръг (задочен), 8–9 клас — Задача 9

• 83 s

  В официальном решении путь 1660 км делится на скорость «20 км/с», хотя по условию скорость 30 км/с; ответ 83 с приведен как напечатан.

Условие: 2 марта этого года астероид 2009 DD45 пролетел между Землей и Луной. Предположим, что астероид в некоторый момент оказался точно на прямой, соединяющей наблюдателя на Земле и центр Луны, двигался со скоростью 30 км/с под углом $30^{\circ}$ к этой прямой и находился на расстоянии 100 тыс.км от наблюдателя. Найдите время, за которое астероид для наблюдателя пересек диск Луны. Радиус Луны в 4 раза меньше радиуса Земли, расстояние от Земли до Луны равно примерно 60 радиусам Земли. (7 баллов).

Дано: $V = 30$ км/c, $\alpha = 30^{\circ}$, $r_a = 100$ тыс. км, $R_{\text{☾}} = \frac{1}{4} R_{\oplus}$, $r_{\text{☾}} = 60\,R_{\oplus}$.

Найти: $t$ – ?

Решение:

Как известно, радиус Земли примерно равен $R_{\oplus} \approx 6400$ км, поэтому астероид пролетел на расстоянии, равном $r_a = 15.6 \cdot R_{\oplus}$. Далее немного упростим задачу – будем считать, что астероид пересекал прямую, соединяющую наблюдателя и Луну, перпендикулярно. Тогда путь $x$, пройденный астероидом на фоне диска Луны, относится к расстоянию до него так же, как диаметр Луны к расстоянию до нее (следует из подобия треугольников или теоремы Фалеса):

Теперь вспомним, что астероид двигался под углом $\alpha = 30^{\circ}$ к прямой. Так как расстояние между Землей и Луной намного больше 832 км, то можно считать, что за счет этого путь астероида на фоне диска Луны увеличился в $1/\sin 30^{\circ} = 2$ раза. В итоге получаем путь, равный 1660 км. Так как астероид двигался со скоростью 20 км/с, время пересечения окажется равным 83 с.

Ответ: $t = 83$ c ($\text{\textdollar}_{\max} = 7$ баллов).