Съдържание

Самара 2013, I кръг (задочен), 8–9 клас — Задача 15

Оригинал на условието (Word)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2013

Олимпиада по астрономии среди учащихся 8-9 классов (заочный тур № 1) Самара, 2012 · 12 т.

Внимание: Бележка към темата

В шапке условий указана Самарская областная астрономическая школа — 2013, а в заголовке темы — «Самара, 2012». На титульном листе официальных решений указан 2013 год; тема сохранена в архивном разделе 2013 года.

Уровень А

Уровень «Новичок» (уровень А)

Уровень B

Уровень «Знаток» (уровень B)

Уровень С

Уровень «Профи» (уровень С)

Условие

12 января 2012 года состоялось прохождение своего перигелия кометой Леви 2006 Т1. Как показали наблюдения 2006 года, комета движется по эллиптической орбите с коротким периодом $T$ =5,28 года и эксцентриситетом $e$ = 0,668. Между орбитами каких планет Солнечной системы расположена орбита этой кометы? Может ли она сближаться с Землей? Если да, то до какого расстояния?

Отговори

Решение

Условие: 12 января 2012 года состоялось прохождение своего перигелия кометой Леви 2006 Т1. Как показали наблюдения 2006 года, комета движется по эллиптической орбите с коротким периодом $T = 5.28$ года и эксцентриситетом $\varepsilon = 0.668$ . Между орбитами каких планет Солнечной системы расположена орбита этой кометы? Может ли она сближаться с Землей? Если да, то до какого расстояния? (12 баллов).

Дано: $T = 5.28$ года, $\varepsilon = 0.668$ .

Найти: q, Q – ?

Решение:

Для того чтобы ответить на вопрос "между орбитами каких планет Солнечной системы расположена орбита этой кометы?" необходимо определить расстояние от Солнца до перигелия $q$ и афелия $Q$ кометы:

q = a(1 - \varepsilon), \;\; Q = a(1 + \varepsilon). \qquad (22)

здесь $a$ – большая полуось эллипса орбиты кометы. Для определения последней необходимо воспользоваться третьим законом Кеплера:

\frac{T^2}{T_{\oplus}^2} = \frac{a^3}{a_{\oplus}^3}, \;\Rightarrow\; a = a_{\oplus}\sqrt[3]{\frac{T^2}{T_{\oplus}^2}} = 3.0322\,\text{а.е.} \qquad (23)

здесь $T_{\oplus} = 1$ год – сидерический период обращения Земли вокруг Солнца, $a_{\oplus} = 1$ а.е. – большая полуось земной орбиты.

q = 3.0322 \cdot (1 - 0.668) = 1.00669\ \text{а.е.}, \;\; Q = 3.0322 \cdot (1 + 0.668) = 5.0577\,\text{а.е.}. \qquad (24)

Очевидно, что расстояние до перигелия чуть больше большой полуоси земной орбиты $a_{\oplus}$ (перигелий кометы, в принципе, может лежать как внутри орбиты Земли так и вне ее, поскольку эксцентриситет земной орбиты $\varepsilon_{\oplus} = 0.017$ , то $q_{\oplus} = a_{\oplus}(1-\varepsilon_{\oplus}) = 0.983$ а.е., $Q_{\oplus} = a_{\oplus}(1+\varepsilon_{\oplus}) = 1.017$ а.е.), но меньше большой полуоси Юпитера ( $a_J = 5.2$ а.е. , согласно (9)). Т.о. орбита кометы лежит между орбитами Земли и Юпитера. Комета, в принципе, может сближаться с Землей, если большая ось эллипса ее орбиты лежит или составляет малый угол с плоскостью орбиты Земли. В этом случае среднее минимальное расстояние между Землей и кометой $\Delta r = q - a_{\oplus} = 10^6$ км.

Ответ: Орбита кометы лежит между орбитами Земли и Юпитера. Комета, в принципе, может сближаться с Землей, если большая ось эллипса ее орбиты лежит или составляет малый угол с плоскостью орбиты Земли. При этом среднее минимальное расстояние между Землей и кометой $\Delta r = q - a_{\oplus} = 10^6$ км. ( $\text{\textdollar}_{\max} = 12$ баллов).

Оригинал в Архива: [1] Oilmpiada on astronomy[8-9]_SAMRAS_2013.doc · официални решения: TaskDecisions[SAmRAS_2013-1]_8-9 classes.pdf