Съдържание

Самара 2013, I кръг (задочен), 8–9 клас — Задача 17

Оригинал на условието (Word)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2013

Олимпиада по астрономии среди учащихся 8-9 классов (заочный тур № 1) Самара, 2012 · 14 т.

Внимание: Бележка към темата

В шапке условий указана Самарская областная астрономическая школа — 2013, а в заголовке темы — «Самара, 2012». На титульном листе официальных решений указан 2013 год; тема сохранена в архивном разделе 2013 года.

Уровень А

Уровень «Новичок» (уровень А)

Уровень B

Уровень «Знаток» (уровень B)

Уровень С

Уровень «Профи» (уровень С)

Условие

Три звезды одинаковой массы образуют равносторонний треугольник со стороной L и двигаются по одной окружности с периодом T. Найти массы звезд.

Отговори

Решение

Условие: Три звезды одинаковой массы образуют равносторонний треугольник со стороной L и двигаются по одной окружности с периодом T. Найти массы звезд.

Дано: $L$ , $T$ . $\mathfrak{M}_1 = \mathfrak{M}_2 = \mathfrak{M}_3 = \mathfrak{M}$

Найти: $\mathfrak{M}$ – ?

Решение:

Рассмотрим круговое движение звезды 1 (см. рис. 4). Поскольку последняя движется по окружности с постоянной скоростью, то результирующая сила, действующая на данное тело – центростремительная сила. Она определяется векторной суммой двух одинаковых по модулю сил притяжения – $\vec{F}_{21}$ , $\vec{F}_{31}$ , действующих со стороны двух других звезд на данную.

Согласно правилу сложения векторов, c использованием свойств треугольника имеем:

F_{\text{рез}} = 2\,F_{21}\cos 30^{\circ} = 2\frac{G\,\mathfrak{M}^2}{L^2}\frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}\frac{G\,\mathfrak{M}^2}{L^2}. \qquad (28)

С другой стороны центростремительную силу можно представить в виде:

F_{\text{ц.с.}} = \mathfrak{M} \cdot a_{\text{ц.с.}} = \mathfrak{M} \cdot \frac{V^2}{R}. \qquad (29)

учитывая, что движение по окружности является равномерным и связь радиуса окружности с стороной треугольника

V = \frac{2\pi R}{T}, \;\; R = \frac{L}{\sqrt{3}}, \qquad (30)

Три звезды 1, 2, 3 в вершинах равностороннего треугольника со сторонами L, вписанного в штриховую окружность с центром O; радиусы R от O к звездам 2 и 3; у звезды 1 красные векторы сил F21 и F31 и их сумма Fрез, направленная к O. — Рис. 4.

в результате получаем уравнение вида (второй закон Ньютона для звезды 1):

\mathfrak{M}\frac{4\pi^2 L}{\sqrt{3}T^2} = \sqrt{3}\frac{G\,\mathfrak{M}^2}{L^2}, \;\Rightarrow\; \mathfrak{M} = \frac{4}{3}\pi^2\frac{L^3}{G\,T^2}. \qquad (31)

Ответ: $\mathfrak{M} = \frac{4}{3}\pi^2\frac{L^3}{G\,T^2}$ . ( $\text{\textdollar}_{\max} = 14$ баллов).

Оригинал в Архива: [1] Oilmpiada on astronomy[8-9]_SAMRAS_2013.doc · официални решения: TaskDecisions[SAmRAS_2013-1]_8-9 classes.pdf