Самара 2013, I кръг (задочен), 8–9 клас — Задача 7

• tM = 7.6 мин, tV = 5.9 мин

Условие: Используя лишь закон Тициуса-Боде, предположение о круговых орбитах планет и значение скорости света, оцените время, в течение которого свет идет от Венеры и Меркурия до Земли в моменты их наибольшей элонгации для земного наблюдателя (6 баллов).

Дано: орбиты планет круговые; положение – наибольшая элонгация;

Найти: $t_V$, $t_M$ – ?

Решение:

Как известно, закон Тициуса-Боде определяет расстояние планеты от Солнца и представляется в виде

где $n$ – планетный индекс, для каждой планеты, принимающий свое значение. Так для Меркурия – $n = \infty$, а для Венеры – $n = 0$, для Земли – $n = 1$. Расстояние для Меркурия, Венеры и Земли равны соответственно $r_M = 0.4$ а.е., $r_V = 0.7$ а.е., $r_E = 1.0$ а.е.

В положении наибольшей элонгации планеты находятся в одной из точек IPC$_2$ и IPC$_4$ рис. 3. При этом планета, Земля и Солнце образуют прямоугольный треугольник, следовательно, расстояние от планеты до Земли можно вычислить по теореме Пифагора:

Так для Меркурия эта величина составляет $r_{E-M} = 0.917$ а.е., $r_{E-V} = 0.714$ а.е.

В итоге, время, в течение которого свет идет от Венеры и Меркурия до Земли, составляет

где $c = 300000$ км/c – скорость света в вакууме.

Ответ: $t_M = \frac{r_{E-M}}{c} = 7.6$ мин, $t_V = \frac{r_{E-V}}{c} = 5.9$ мин ($\text{\textdollar}_{\max} = 6$ баллов).