Съдържание

Самара 2013, II кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 10. Большая комета 1811 года

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2013

Условия конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2013 среди учащихся 10-11 классов заочного тура № 2 · 8 т.

Условие

Условие. В 1811 году была открыта знаменитая комета, получившая название «Большая комета 1811 года». Согласно современным представлениям ее период составляет $3.1 \cdot 10^3$ лет, а эксцентриситет $\varepsilon = 0.995$ . Опираясь на указанные данные, оцените среднюю скорость кометы на ее орбите. Определите также отношение скоростей кометы в перигелии и афелии, если ее расстояние от Солнца в перигелии составляет 1.035 а.е. (8 баллов)

Отговори

Решение

Дано: $T = 3.1 \cdot 10^3$ лет, $\varepsilon = 0.995$ , $q = 1.035$ а.е.

Найти: $\bar{V}$ , $V_q/V_Q$ – ?

Согласно условию задачи, эксцентриситет орбиты близок к единице, следовательно, орбита кометы есть очень сильно вытянутый эллипс, который без особой потери точности можно считать отрезком прямой.

Тогда полная длина $L$ такой орбиты связана с большой полуосью $a$ простым соотношением $L = 4a$ . Большую полуось $a$ можно найти из III закона Кеплера:

\frac{a^3}{a_{\oplus}^3} = \frac{T^2}{T_{\oplus}^2}, \ \Rightarrow \ a = a_{\oplus}\left(\frac{T}{T_{\oplus}}\right)^{2/3} = 1\,\text{а.е.} \cdot (3.1 \cdot 10^3)^{2/3} = 212.6\,\text{а.е.} \qquad (20)

здесь $a_{\oplus} = 1$ а.е. – большая полуось земной орбиты, $T_{\oplus} = 1$ год – сидерический период обращения Земли вокруг Солнца. Следовательно, средняя орбитальная скорость кометы есть

\bar{V} = \frac{L}{T} = \frac{4a}{T} = \frac{4 \cdot 212.6\,\text{а.е.} \cdot 1.496 \cdot 10^8\,\text{км/а.е.}}{3.1 \cdot 10^3\,\text{лет} \cdot 3.147 \cdot 10^7\,\text{c/год}} = 1.3\,\text{км/с}. \qquad (21)

Из закона сохранения момента импульса (момента количества движения) кометы следует равенство:

q \cdot V_q = Q \cdot V_Q, \ \ \frac{V_q}{V_Q} = \frac{Q}{q}. \qquad (22)

здесь $q$ – расстояние от Солнца до перигелия кометы, $V_q$ – скорость кометы в данной точке, $Q$ – расстояние от Солнца до афелия кометы, $V_Q$ – скорость кометы в афелии. Используя свойства эллипса можно показать, что параметры $q$ , $Q$ можно представить в виде:

q = a(1 - \varepsilon), \ \ Q = a(1 + \varepsilon), \ \Rightarrow \ \frac{Q}{q} = \frac{(1 + \varepsilon)}{(1 - \varepsilon)} = 399 \approx 400. \qquad (23)

Ответ: $\bar{V} = 1.3$ км/с, $\frac{V_q}{V_Q} = \frac{(1+\varepsilon)}{(1-\varepsilon)} = 399 \approx 400$ . ( $\text{\textdollar}_{\max} = 8$ баллов).

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2013-2]_10-11 classes.pdf · официални решения: TasksDecisions[SAmRAS_2013-2]_10-11 classes.pdf