Съдържание

Самара 2013, II кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 12. Открытие колец у Реи – спутника Сатурна

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2013

Условия конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2013 среди учащихся 10-11 классов заочного тура № 2 · 10 т.

Условие

Условие. В 2008 году специалисты NASA объявили о "непрямом открытии" пылевых колец у Реи – второго по размерам и массе спутника Сатурна, с помощью КА "Кассини". Открытие было сделано c использованием "эффекта тени", наблюдавшейся в потоке электронов, движущихся от Сатурна и регистрируемых КА. Когда КА проходил мимо Рэи по прямолинейной траектории, по другую сторону от Сатурна, в точках $A_1$ , $B_1$ , $C_1$ , $A_2$ , $B_2$ , $C_2$ его траектории (см. рис. 4) отчетливо наблюдалась тень от колец. Используя известные данные наблюдений $OD = 1251$ км, $t_D = 22^{\text{ч}}37^{\text{м}}39^{\text{с}}$ – момент прохождения КА через точку $D$ – центр тени Реи, значения моментов времени пребывания КА в указанных точках $t_1$ , $t_2$ и относительной скорости движения аппарата $v = 7.272$ км/c, определите значения радиусов колец Реи. Определите также периоды их обращения и орбитальные скорости движения тел колец (значение массы Реи возьмите из справочных данных). Ответ представьте средними значениями искомых величин. (10 баллов).

Схема: в центре Рея (розовый круг O), вокруг три пунктирные окружности колец C, B, A; стрелка вверх с надписью «На Сатурн»; горизонтальная траектория КА от E1 к E2 пересекает кольца в точках A1, B1, C1, C2, B2, A2; D – основание перпендикуляра из O; отрезки RC1 и RC2 от O к C1 и C2. — Рис.4. К определению радиусов колец.

Кольцо С
$t_1$	$t_2$
$t_{C_2} = 22^{\text{ч}}40^{\text{м}}00^{\text{с}}$	$t_{C_1} = 22^{\text{ч}}35^{\text{м}}18^{\text{с}}$
Кольцо B
$t_{B_2} = 22^{\text{ч}}40^{\text{м}}45^{\text{с}}$	$t_{B_1} = 22^{\text{ч}}34^{\text{м}}44^{\text{с}}$
Кольцо A
$t_{A_2} = 22^{\text{ч}}41^{\text{м}}27^{\text{с}}$	$t_{A_1} = 22^{\text{ч}}34^{\text{м}}06^{\text{с}}$

Отговори

Решение

Та же схема, что рис. 4 условия: Рея O, пунктирные окружности колец C, B, A, стрелка «На Сатурн», траектория КА E1–E2 с точками A1, B1, C1, D, C2, B2, A2 и отрезками RC1, RC2. — Рис. 9. К определению радиусов колец.

Согласно условию задачи траектория движения – прямая, а скорость движения – постоянная величина $v$ , следовательно, используя указанные моменты времени, можно найти следующие отрезки:

r_{A_1} = A_1D = v(t_D - t_{A_1}), \ \ r_{A_2} = DA_2 = v(t_{A_2} - t_D);

r_{B_1} = B_1D = v(t_D - t_{B_1}), \ \ r_{B_2} = DB_2 = v(t_{B_2} - t_D);

r_{C_1} = C_1D = v(t_D - t_{C_1}), \ \ r_{C_2} = DC_2 = v(t_{C_2} - t_D).

Зная минимальное расстояние, на которое сблизился аппарат $r = OD$ , можно по теореме Пифагора найти радиусы колец:

R_{A_1} = \sqrt{r^2 + r_{A_1}^2}, \ \ R_{A_2} = \sqrt{r^2 + r_{A_2}^2},

R_{B_1} = \sqrt{r^2 + r_{B_1}^2}, \ \ R_{B_2} = \sqrt{r^2 + r_{B_2}^2},

R_{C_1} = \sqrt{r^2 + r_{C_1}^2}, \ \ R_{C_2} = \sqrt{r^2 + r_{C_2}^2}. \qquad (24)

Кольца, в общем случае, могут иметь форму эллипса и характеризоваться относительно небольшими коэффициентами сжатия. Далее будем пренебрегать эллиптичностью колец, полагая, что кольца имеют форму окружностей, тогда средние радиусы колец есть:

R_A = \frac{R_{A_1} + R_{A_2}}{2}, \ \ R_B = \frac{R_{B_1} + R_{B_2}}{2}, \ \ R_C = \frac{R_{C_1} + R_{C_2}}{2}. \qquad (25)

Используя известные данные наблюдений $r = 1251$ км, $t_D = 22^{\text{ч}}37^{\text{м}}39^{\text{с}}$ , $t_1$ , $t_2$ и значение относительной скорости движения аппарата $v = 7.272$ км/c, мы выполнили расчет, согласно предложенному алгоритму, и получили следующие результаты, представленные в таблице 2.

Таблица 2

$t_1$	$t_2$	$r_1$ , км	$r_2$ , км	$R_1$ , км	$R_2$ , км	R, км
Кольцо С
$22^{\text{ч}}40^{\text{м}}00^{\text{с}}$	$22^{\text{ч}}35^{\text{м}}18^{\text{с}}$	1025.4	1025.4	1615	1615	1615
Кольцо B
$22^{\text{ч}}40^{\text{м}}45^{\text{с}}$	$22^{\text{ч}}34^{\text{м}}44^{\text{с}}$	1352.7	1272.7	1841	1784	1813
Кольцо A
$22^{\text{ч}}41^{\text{м}}27^{\text{с}}$	$22^{\text{ч}}34^{\text{м}}06^{\text{с}}$	1658.1	1549.0	2077	1991	2034

Для определения кинематических параметров частиц колец Реи запишем второй закон Ньютона для одной из таких частиц, движущихся в поле тяготения Реи:

\mathfrak{M}\frac{v^2}{R} = \frac{G \cdot \mathfrak{M}_{\text{Rhea}} \cdot \mathfrak{M}}{R^2}. \qquad (26)

Откуда следует, линейная орбитальная скорость спутника:

V = \sqrt{\frac{G \cdot \mathfrak{M}_{\text{Rhea}}}{R}}. \qquad (27)

Поскольку частица движется равномерно по окружности, то

v = \frac{2\pi R}{T},

где $T$ — период обращения частицы вокруг Реи. Следовательно, соотношения (26) можно представить в виде:

\frac{4\pi^2 R^2}{T^2} = \frac{G \cdot \mathfrak{M}_{\text{Rhea}}}{R}, \ \Rightarrow \ T = \sqrt{\frac{4\pi^2 R^3}{G \cdot \mathfrak{M}_{\text{Rhea}}}} = \frac{2\pi R^{3/2}}{\sqrt{G \cdot \mathfrak{M}_{\text{Rhea}}}}. \qquad (28)

Выполняя расчет искомых кинематических величин по формулам (26), (28) для малых тел колец Реи с использованием массы Реи $\mathfrak{M}_{\text{Rhea}} = 2.306 \cdot 10^{21}$ кг и значений средних радиусов колец, представленных в таблице 2, в итоге получаем следующие результаты, представленные в таблице 3.

Таблица 3

Кольцо	Т, сут	V, км/c
C	0.381	0.309
B	0.453	0.291
A	0.538	0.275

Ответ: $R_A = 2034$ км, $R_B = 1813$ км, $R_C = 1615$ км; $T_A = 0.381$ сут, $T_B = 0.453$ сут, $T_C = 0.538$ сут; $V_A = 0.309$ км/c, $V_B = 0.291$ км/c, $V_C = 0.275$ сут. ( $\text{\textdollar}_{\max} = 10$ баллов).

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2013-2]_10-11 classes.pdf · официални решения: TasksDecisions[SAmRAS_2013-2]_10-11 classes.pdf