Самара 2013, II кръг (задочен), 8–9 клас — Задача 10. Угол между эклиптикой и горизонтом

• $\alpha_s = 90^{\circ} - h_{P_N} + \varepsilon = 60^{\circ}14',\quad \alpha_r = 90^{\circ} - h_{P_N} - \varepsilon = 13^{\circ}22'$

  αs — при заходе точки весеннего равноденствия, αr — при её восходе.

Определим прежде всего, какой угол образует небесный экватор с плоскостью математического горизонта в г. Самара.

Согласно рис. 6 это угол $\angle A_2OS = 90^{\circ} - \angle ZOA_2$. С использованием теоремы о равенстве углов со взаимно перпендикулярными сторонами, легко убедиться в том, что $\angle ZOA_2 = \angle NOP_N$, последний угол есть высота северного полюса мира над горизонтом $\angle NOP_N = h_{P_N}$. Согласно первой теореме о связи небесных и географических координат имеем $h_{P_N} = \varphi$, тогда $\angle A_2OS = 90^{\circ} - h_{P_N} = 36^{\circ}48'$.

Далее рассмотрим расположение эклиптики по отношению к экватору. Если точка весеннего равноденствия $\Upsilon$ заходит за горизонт (на рис. 7 показан случай, для наблюдателя, находящегося на северном географическом северном полюсе), то в этот момент точка $E_2$ летнего солнцестояния находится в своей верхней кульминации, а сама эклиптика возвышается над экватором на угол $\varepsilon = 23^{\circ}26'$. В момент восхода точки весеннего равноденствия ситуация обратная – точка $E_1$ зимнего солнцестояния находится в своей верхней кульминации, а сама эклиптика находится ниже экватора на угол $\varepsilon$. Т.о. угол $\alpha$, который образует эклиптика с горизонтом в моменты восхода и захода точки весеннего равноденствия для наблюдателя, находящегося в г. Самара:

Замечание: следует отметить, что указанные значения являются также значениями высоты Солнца в верхней кульминации в день летнего (21-22 июня) и зимнего (21-22 декабря) солнцестояния.

Ответ: заход точки $\Upsilon$: $\alpha_s = 90^{\circ} - h_{P_N} + \varepsilon = 60^{\circ}14'$, восход точки $\Upsilon$: $\alpha_r = 90^{\circ} - h_{P_N} - \varepsilon = 13^{\circ}22'$. ($\text{\textdollar}_{\max} = 8$ баллов).