Съдържание

Самара 2013, II кръг (задочен), 8–9 клас — Задача 15. Открытие колец у Реи – спутника Сатурна

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2013

УСЛОВИЯ КОНКУРСНЫХ ЗАДАЧ ОЛИМПИАДЫ ПО АСТРОНОМИИ SAMRAS-2013 СРЕДИ УЧАЩИХСЯ 8-9 КЛАССОВ ЗАОЧНОГО ТУРА № 2 · 13 т.

Условие

Условие. В 2008 году специалисты NASA объявили о "непрямом открытии" пылевых колец у Реи – второго по размерам и массе спутника Сатурна, с помощью КА "Кассини". Открытие было сделано с использованием "эффекта тени", наблюдавшейся в потоке электронов, движущихся от Сатурна и регистрируемых КА. Когда КА проходил мимо Рэи по прямолинейной траектории, по другую сторону от Сатурна, в точках $A_1$ , $B_1$ , $C_1$ , $A_2$ , $B_2$ , $C_2$ его траектории (см. рис. 2) отчетливо наблюдалась тень от колец. Используя известные данные наблюдений $OD = 1251$ км, $t_D = 22^{\text{ч}}37^{\text{м}}39^{\text{с}}$ – момент прохождения КА через точку $D$ – центр тени Реи, значения моментов времени пребывания КА в указанных точках $t_1$ , $t_2$ и относительной скорости движения аппарата $v = 7.272$ км/с, определите значения радиусов колец Реи. Ответ представьте средними значениями искомых величин. (13 баллов).

Схема: вокруг малиновой окружности O (Рея) три концентрические штриховые окружности — кольца C, B, A (изнутри наружу); вверх направлена голубая стрелка с надписью «На Сатурн»; горизонтальная траектория КА от E₁ к E₂ со стрелкой пересекает кольца в точках A₁, B₁, C₁, C₂, B₂, A₂; из O опущен перпендикуляр OD на траекторию, отрезки R_C₁ = OC₁ и R_C₂ = OC₂. — Рис. 2. К определению радиусов колец.

Кольцо	$t_1$	$t_2$
Кольцо C	$t_{C_2} = 22^{\text{ч}}40^{\text{м}}00^{\text{с}}$	$t_{C_1} = 22^{\text{ч}}35^{\text{м}}18^{\text{с}}$
Кольцо B	$t_{B_2} = 22^{\text{ч}}40^{\text{м}}45^{\text{с}}$	$t_{B_1} = 22^{\text{ч}}34^{\text{м}}44^{\text{с}}$
Кольцо A	$t_{A_2} = 22^{\text{ч}}41^{\text{м}}27^{\text{с}}$	$t_{A_1} = 22^{\text{ч}}34^{\text{м}}06^{\text{с}}$

Отговори

Решение

Согласно условию задачи траектория движения – прямая, а скорость движения – постоянная величина $v$ , следовательно, используя указанные моменты времени, можно найти следующие отрезки:

\begin{aligned} &r_{A_1} = A_1D = v(t_D - t_{A_1}),\ \ r_{A_2} = DA_2 = v(t_{A_2} - t_D); \\ &r_{B_1} = B_1D = v(t_D - t_{B_1}),\ \ r_{B_2} = DB_2 = v(t_{B_2} - t_D); \\ &r_{C_1} = C_1D = v(t_D - t_{C_1}),\ \ r_{C_2} = DC_2 = v(t_{C_2} - t_D). \end{aligned}

Зная минимальное расстояние, на которое сблизился аппарат $r = OD$ , можно по теореме Пифагора найти радиусы колец:

\begin{aligned} &R_{A_1} = \sqrt{r^2 + r^2_{A_1}},\ \ R_{A_2} = \sqrt{r^2 + r^2_{A_2}}, \\ &R_{B_1} = \sqrt{r^2 + r^2_{B_1}},\ \ R_{B_2} = \sqrt{r^2 + r^2_{B_2}}, \\ &R_{C_1} = \sqrt{r^2 + r^2_{C_1}},\ \ R_{C_2} = \sqrt{r^2 + r^2_{C_2}}. \end{aligned} \qquad (28)

Кольца, в общем случае, могут иметь форму эллипса и характеризоваться относительно небольшими коэффициентами сжатия. Далее будем пренебрегать эллиптичностью колец, полагая, что кольца имеют форму окружностей, тогда средние радиусы колец есть:

R_A = \frac{R_{A_1} + R_{A_2}}{2},\ \ R_B = \frac{R_{B_1} + R_{B_2}}{2},\ \ R_C = \frac{R_{C_1} + R_{C_2}}{2}. \qquad (29)

Используя известные данные наблюдений $r = 1251$ км, $t_D = 22^{\text{ч}}37^{\text{м}}39^{\text{с}}$ , $t_1$ , $t_2$ и значение относительной скорости движения аппарата $v = 7.272$ км/с, мы выполнили расчет, согласно предложенному алгоритму, и получили следующие результаты, представленные в таблице 1.

Таблица 1

Кольцо	$t_1$	$t_2$	$r_1$ , км	$r_2$ , км	$R_1$ , км	$R_2$ , км	R, км
Кольцо C	$22^{\text{ч}}40^{\text{м}}00^{\text{с}}$	$22^{\text{ч}}35^{\text{м}}18^{\text{с}}$	1025.4	1025.4	1615	1615	1615
Кольцо B	$22^{\text{ч}}40^{\text{м}}45^{\text{с}}$	$22^{\text{ч}}34^{\text{м}}44^{\text{с}}$	1352.7	1272.7	1841	1784	1813
Кольцо A	$22^{\text{ч}}41^{\text{м}}27^{\text{с}}$	$22^{\text{ч}}34^{\text{м}}06^{\text{с}}$	1658.1	1549.0	2077	1991	2034

Ответ: $R_A = 2034$ км, $R_B = 1813$ км, $R_C = 1615$ км ( $\text{\textdollar}_{\max} = 13$ баллов).

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2013-2]_8-9 classes.pdf · официални решения: TasksDecisions[SAmRAS_2013-2]_8-9 classes.pdf