Самара 2013, II кръг (задочен), 8–9 клас — Задача 8. Средняя площадь одного созвездия

• 700 квадратных градусов или 0.14 срад

Предварительно проведем аналогию между угловыми и линейными величинами: мерой любого одномерного объекта, например, нити является ее длина $\ell$, а мерой различия направлений в пространстве двух лучей, испущенных из одной точки, является плоский угол $\varphi$, причем определение последнего всегда связано с плоскостью, содержащей данные лучи. Мерой двухмерного объекта, например, поверхности шара является ее площадь $S$. Аналогично рассуждая, можно ввести двумерный аналог плоского угла – телесный угол $\Omega$. Если длина измеряется в метрах, а площадь – в квадратных метрах, то телесный угол, следовательно, должен измеряться в квадратных градусах. Квадратный градус – это участок на небесной сфере размером $1^{\circ} \times 1^{\circ}$.

Как известно, общее количество созвездий на небе известно $N = 88$. Следовательно, оценка средней площади одного созвездия сводится к оценке телесного угла, отвечающего среднему участку небесной сферы, выраженному в квадратных градусах.

Неплохую оценку можно получить, сравнив небесную сферу с поверхностью Земли, на которой координаты каждой точки задаются широтой (диапазон изменения которой составляет $180^{\circ}$) и долготой (диапазон изменения $360^{\circ}$). Тогда в качестве оценки можно сказать, что поверхность любой сферы (и Земли, и небесной сферы в том числе) составляет примерно $180^{\circ} \circ 360^{\circ} \approx 65$ тыс. квадратных градусов. На самом деле этот результат несколько завышен, поскольку в окрестности полюсов сферы меридианы сходятся, однако для оценки им можно воспользоваться. В итоге получаем, что средняя площадь одного созвездия составляет $65000/88 \approx 700$ квадратных градусов.

Стерадиан (срад) – это альтернативная квадратному градусу единица измерения телесного угла. Телесный угол всей поверхности сферы равен $\Omega_{sphere} = 4\pi$ срад (этот результат хорошо известный из курса математики, его можно найти, например, в справочнике по математике Выгодского). Следовательно, в стерадианах площадь одного созвездия составляет $4\pi/88 \approx 0.14$ срад.

Ответ: 700 квадратных градусов или 0.14 срад. ($\text{\textdollar}_{\max} = 7$ баллов).