Съдържание

Условие Отговори Решение

Самара 2014, I кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 6. О движении по эллипсу и средней скорости

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2014

Условия конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2014 среди учащихся 10-11 классов заочного тура № 1 · 5 т.

Уровень А

Уровень «Новичок» (уровень А)

Уровень B

Уровень «Знаток» (уровень B)

Уровень C

Уровень «Профи» (уровень C)

Условие

Условие. При движении тела Солнечной системы по эллипсу относительно Солнца его скорость максимальна в перигелии и минимальна в афелии. В какой точке траектории скорость тела равна ее среднему значению $V_a$ ? (5 баллов).

Отговори

Решение

Решение:

При движении тела по эллипсу его расстояние (гелиоцентрическое) от Солнца меняется от $q$ (перигелийное расстояние) до $Q$ (афелийное расстояние), при этом среднее расстояние от Солнца равно $a$ – большой полуоси эллипса (см. рис. 3). Под средней скоростью тела понимается скорость того же тела, движущегося по круговой орбите вокруг Солнца с радиусом, равным большой полуоси эллипса $a$ . Согласно второму закону Ньютона имеем:

m\frac{V^2}{a} = \frac{G\,m\,\mathfrak{M}_{\odot}}{a^2},\ \Rightarrow\ V_a = \sqrt{\frac{G\,\mathfrak{M}_{\odot}}{a}}. \qquad (4)

Применим закон сохранения энергии к двум точкам траектории: произвольной точке P и перигелию П (см. рис. 3):

\frac{m\,V^2}{2} - \frac{G\,m\,\mathfrak{M}_{\odot}}{r} = \frac{m\,V_q^2}{2} - \frac{G\,m\,\mathfrak{M}_{\odot}}{q},\ \Rightarrow\ V^2 = V_q^2 - 2G\,\mathfrak{M}_{\odot}\left(\frac{1}{q} - \frac{1}{r}\right). \qquad (5)

Скорость тела в перигелии $V_q$ и расстояние $q$ можно представить как

V_q = \sqrt{\frac{G\,\mathfrak{M}_{\odot}}{a}\frac{1+\varepsilon}{1-\varepsilon}},\ \ q = a(1-\varepsilon). \qquad (6)

тогда уравнение (5) можно представить в виде:

V^2 = \frac{G\,\mathfrak{M}_{\odot}}{a}\frac{1+\varepsilon}{1-\varepsilon} - 2G\,\mathfrak{M}_{\odot} \times \left(\frac{1}{a(1-\varepsilon)} - \frac{1}{r}\right) = G\,\mathfrak{M}_{\odot}\left(\frac{2}{r} - \frac{1}{a}\right) \qquad (7)

Т.о. имеем

Эллипс с осями X и Y и центром O; на большой оси вершины A и П, фокусы F1 и F2 (в F2 — Солнце, подписано «Солнце»); на малой оси точки B и C; точка P на эллипсе вблизи B, радиус-вектор r из F2 к P; отрезок c от O до F2, полуоси b (слева) и a (снизу). — Рис. 3. К определению основных точек и параметров эллипса.

V^2 = V_a^2\left(\frac{2a}{r} - 1\right). \qquad (8)

Из последнего выражения следует, что при $r = a$ , $V = V_a$ . Гелиоцентрическому расстоянию $r = a$ (согласно свойствам эллипса $a^2 = b^2 + c^2$ ) отвечают точки B и C (точки пересечения эллипса с осью OY канонической декартовой системы координат) эллипса.

Ответ: скорость тела $V = V_a$ в точках B и C (точки пересечения эллипса с осью OY канонической декартовой системы координат). ( $\text{\textdollar}_{\max} = 5$ баллов).

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2014-1]_10-11 classes.pdf · официални решения: TasksDecisions[SAmRAS_2014-1]_10-11 classes.pdf