Самара 2014, I кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 7. Двойной большой крест 1999 года

• Меркурий 0.61 а.е., Венера 0.28 а.е., Марс 1.14 а.е., Юпитер 5.10 а.е., Сатурн 9.53 а.е., Уран 18.23 а.е., Луна 384.4 тыс. км.

Решение:

Схема, адекватная данной конфигурации, представлена на рис. 4. Согласно рисунку геоцентрические расстояния до нижних планет есть

здесь $a_{\oplus} = 1.000$ а.е. – большая полуось орбиты Земли, $a_{☿} = 0.39$ а.е. – большая полуось Меркурия, $a_{♀} = 0.72$ а.е. – большая полуось Венеры. В результате геоцентрические расстояния до указанных планет есть $\Delta_{☿} = 0.61$ а.е., $\Delta_{☿} = 0.28$ а.е.

Верхняя планета, находящаяся в одной из квадратур, образует вместе с Землей и Солнцем прямоугольный треугольник, для которого, согласно теореме Пифагора, имеем

Согласно справочным данным большая полуось орбиты Марса есть $a_{♂} = 1.52$ а.е., Юпитера – $a_{♃} = 5.20$ а.е., Сатурна – $a_{♄} = 9.58$ а.е. Тогда геоцентрические расстояния для данных планет представляются в виде: для Марса – $\Delta_{♂} = 1.14$ а.е., Юпитера – $\Delta_{♃} = 5.10$ а.е., Сатурна – $\Delta_{♄} = 9.53$ а.е.

Верхняя планета, находящаяся в противостоянии, отстоит от Земли на расстоянии:

Для Урана имеем по аналогии с предыдущими случаями: $a_{⛢} = 19.23$ а.е., $\Delta_{⛢} = 18.23$ а.е.

Наконец, Луна находится на расстоянии $a_{☾} = \Delta_{☾} = 384.4$ тыс. км.

Ответ: $\Delta_{☿} = 0.61$ а.е. (Меркурий), $\Delta_{☿} = 0.28$ а.е. (Венера), $\Delta_{♂} = 1.14$ а.е. (Марс), $\Delta_{♃} = 5.10$ а.е. (Юпитер), $\Delta_{♄} = 9.53$ а.е. (Сатурна), $\Delta_{⛢} = 18.23$ а.е. (Уран), $\Delta_{☾} = 384.4$ тыс. км (Луна). ($\text{\textdollar}_{\max} = 6$ баллов).