Съдържание

Условие Отговори Решение

Самара 2014, II кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 6. Положение центра масс Солнечной системы

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2014

Условия конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2014 среди учащихся 10-11 классов заочного тура № 2 · 5 т.

Уровень А

Уровень «Новичок» (уровень А)

Уровень B

Уровень «Знаток» (уровень B)

Уровень C

Уровень «Профи» (уровень C)

Условие

Условие. Определите, внутри или вне Солнца находится центр масс Солнечной системы, пренебрегая массами всех планет, кроме Юпитера. Масса Солнца $\mathfrak{M}_{\odot} = 1048 \cdot \mathfrak{M}_{♃}$ , где $\mathfrak{M}_{♃}$ – масса Юпитера. Известно, что диаметр Солнца в 107 раз меньше расстояния от Земли до Солнца, а расстояние от Юпитера до Солнца составляет $a_{♃} = 5.2$ а.е (5 баллов).

Отговори

Решение

Дано: $\mathfrak{M}_{\odot} = 1048 \cdot \mathfrak{M}_{♃}$ , $D_{\odot} = a_{\oplus}/107$ , $a_{♃} = 5.2$ а.е.

Найти: $r_{\odot}$ – ?

Решение:

Согласно определению, радиус-вектор системы "Солнце-Юпитер" в произвольной системе отсчета представляется в виде:

\vec{R}_c = \frac{\mathfrak{M}_{\odot} \cdot \vec{r}_{\odot} + \mathfrak{M}_{♃} \cdot \vec{r}_{♃}}{\mathfrak{M}_{\odot} + \mathfrak{M}_{♃}}. \qquad (5)

здесь $\vec{r}_{\odot}$ , $\vec{r}_{♃}$ – радиус-векторы данных тел. В системе отсчета, начало которой совпадает с центром масс системы $\vec{R}_c = 0$ , тогда в проекциях на направление "Солнце-Юпитер" выражение (5) представляется в виде:

-\mathfrak{M}_{\odot} \cdot r_{\odot} + \mathfrak{M}_{♃} \cdot r_{♃} = 0. \qquad (6)

Очевидно, что центр масс системы находится на прямой соединяющей данные тела, следовательно, выполняется равенство

r_{\odot} + r_{♃} = a_{♃}. \qquad (7)

Решая полученную систему уравнений (6), (7) относительно $r_{\odot}$ , $r_{♃}$ в итоге получаем

r_{\odot} = a_{♃}\left[\frac{\eta}{1 + \eta}\right],\ \ r_{♃} = a_{♃}\left[\frac{1}{1 + \eta}\right],\ \ \text{где}\ \ \eta = \frac{\mathfrak{M}_{♃}}{\mathfrak{M}_{\odot}}.

Выполняя численный расчет, в итоге получаем $r_{\odot} = 4.97 \cdot 10^{-3}$ а.е. С другой стороны, радиус Солнца $\mathfrak{R}_{\odot} = D_{\odot}/2 = 4.67 \cdot 10^{-3}$ а.е. Т.о.

r_{\odot} > \mathfrak{R}_{\odot},

следовательно, центр масс Солнечной системы лежит вне Солнца.

Ответ: $r_{\odot} = 4.97 \cdot 10^{-3} > \mathfrak{R}_{\odot}$ , центр масс Солнечной системы лежит вне тела Солнца, хотя весьма близко к его поверхности. ( $\text{\textdollar}_{\max} = 5$ баллов).

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2014-2]_10-11 classes.pdf · официални решения: TasksDecisions[SAmRAS_2014-2]_10-11 classes.pdf