Съдържание

Условие Отговори Решение

Самара 2014, II кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 7. Сколько звезд, видимых невооруженным глазом, над горизонтом?

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2014

Условия конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2014 среди учащихся 10-11 классов заочного тура № 2 · 6 т.

Уровень А

Уровень «Новичок» (уровень А)

Уровень B

Уровень «Знаток» (уровень B)

Уровень C

Уровень «Профи» (уровень C)

Условие

Условие. Как известно, математический горизонт делит небесную сферу на две равных полусферы. Полагая, что общее число звезд, видимых на небе обоих полусфер, равно N (при наблюдении невооруженным глазом $N = 6000$ ), и что звезды распределены по небосводу равномерно, определите количество звезд, которые мы видим над горизонтом и количество звезд, находящихся под горизонтом. (6 баллов).

Отговори

Решение

Жёлтая небесная сфера с зенитом Z вверху и надиром Na внизу; горизонтальный круг «Горизонт» через центр, под ним и над ним заштрихованный пояс; угол ρ от центра к краю пояса и ширина пояса ℓ, отмеченная оранжевыми стрелками справа. — Рис. 3. К определению пояса звезд, видимых над горизонтом, за счет рефракции света.

Решение:

На первый взгляд, может показаться, что количество звезд, видимых над горизонтом, должно равняться количеству звезд, которых мы увидеть не можем, т.к. они находятся под горизонтом. На самом деле из-за атмосферной рефракции мы можем увидеть над горизонтом не только звезды верхней половины небесной сферы (их число равно N/2), но и звезды, находящиеся в поясе c угловой шириной $\rho'' = 35'$ под математическим горизонтом (см. рис. 3). Вычислим количество $\Delta N$ таких звезд.

Пусть $R$ – радиус небесной сферы (конечно, его величина неопределенная, но это для решения задачи не играет роли). Тогда площадь поверхности небесной сферы будет

S_{\rm sphere} = 4\pi\,R^2,

а площадь пояса под горизонтом

S_{\rm belt} = 2\pi\,R\,\ell = 2\pi\,R^2\,\rho = 2\pi\,R^2\,\frac{\rho''}{3438'},

где $\rho$ – это угол $\rho'' = 35'$ , выраженный в радианах дуги. Здесь также учтено, что 1 рад = $3438'$ .

Следовательно, количество звезд в поясе под горизонтом, должно удовлетворять условию (в силу равномерного распределения звезд по небосводу):

\frac{\Delta N}{S_{\rm belt}} = \frac{N}{S_{\rm sphere}},\ \Rightarrow\ \Delta N = N\left(\frac{S_{\rm belt}}{S_{\rm sphere}}\right) = N\left(\frac{\rho''}{6876'}\right) = 0.005\,N.

Тогда количество звезд, видимых над горизонтом, есть

N_v = \frac{N}{2} + 0.005\,N = 0.505\,N = 3031.

Количество звезд, находящихся под горизонтом и не видимых взору наблюдателя:

N_n = \frac{N}{2} - 0.005\,N = 0.495\,N = 2969.

Т.о. над горизонтом мы увидим на 1% больше звезд ( $N_v - N_n = 0.01\,N$ ), чем не увидим под горизонтом. При наблюдении невооруженным глазом это примерно 60 звезд.

Ответ: $N_v = 0.505\,N = 3031$ , $N_n = 0.495\,N = 2969$ ; Т.о. над горизонтом мы видим на 1% больше звезд, чем не увидим под горизонтом (это примерно 60 звезд). ( $\text{\textdollar}_{\max} = 6$ баллов).

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2014-2]_10-11 classes.pdf · официални решения: TasksDecisions[SAmRAS_2014-2]_10-11 classes.pdf