Съдържание

Условие Отговори Решение

Самара 2014, II кръг (задочен), 8–9 клас — Задача 10. Наблюдения Эратосфена и определение длины земного меридиана

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2014

УСЛОВИЯ КОНКУРСНЫХ ЗАДАЧ ОЛИМПИАДЫ ПО АСТРОНОМИИ SAMRAS-2014 СРЕДИ УЧАЩИХСЯ 8-9 КЛАССОВ ЗАОЧНОГО ТУРА № 2 · 8 т.

Уровень «Новичок»

(уровень А)

Уровень «Знаток»

(уровень B)

Уровень «Профи»

(уровень C)

Уровень «Новичок»

(уровень А)

Уровень «Знаток»

(уровень B)

Уровень «Профи»

(уровень C)

Условие

Условие. В III в. до н.э. греческий ученый Эратосфен знал, что в день летнего солнцестояния Солнце над г. Сиена бывает так высоко, что его лучи достигают дна самого глубокого колодца этого города. В это же время в г. Александрия, расположенном примерно на том же меридиане, Солнце было на высоте $h_2 = 82.8^{\circ}$ . Эратосфен определил расстояние между Сиеной и Александрией. Для этого он учел, что караван верблюдов обычно проходил около 100 греческих стадий в сутки (в те времена люди передвигались на верблюдах). Путешествие каравана из Сиены в Александрию занимало 50 дней. Опираясь, на указанные данные и учитывая, что одна стадия равна 157 метрам, определите длину дуги (окружности) земного меридиана в стадиях и километрах. Сравните полученный результат с современным значением и определите относительную погрешность результата Эратосфена. (8 баллов).

Отговори

Решение

Дано: $h_2 = 82.8^{\circ}$ , $v_k = 100$ стадия/сут, $t_p = 50$ сут.

Найти: $L$ , $\varepsilon_L$ – ?

Если лучи достигают дна самого глубокого колодца г. Сиена, значит они падают нормально поверхности, следовательно высота Солнца в этот день – $h_1 = 90^{\circ}$ . Запишем высоту Солнца в верхней кульминации для г. Сиена (1), и г. Александрия (2).

h_1 = 90^{\circ} - \varphi_1 + \delta_{\odot}, \ \ h_2 = \left\{\begin{matrix} 90^{\circ} - \varphi_2 + \delta_{\odot}, \\ 90^{\circ} + \varphi_2 - \delta_{\odot} \end{matrix}\right\}, \ \Rightarrow \left\{\begin{matrix} \varphi_1 = \delta_{\odot}, \\ |\varphi_2 - \varphi_1| = 90^{\circ} - h_2 \end{matrix}\right\}.

Отметим, что в последнем выражении представлены два альтернативных результата для высоты светила в верхней кульминации в г. Александрия – к югу и северу от зенита соответственно (поскольку не сказано, к югу или северу от зенита была кульминация Солнца). Т.о. разность географических широт данных городов составляет $\Delta\varphi = |\varphi_2 - \varphi_1| = 7.2^{\circ}$ , данному углу соответствует дуга меридиана $\ell$ (для большей наглядности см. рис. 3), которую преодолевает караван, путешествуя из одного города в другой. Последний параметр представляется в виде:

\ell = v_k\cdot t_p = 5000\ \text{стадий}.

C другой стороны, окружность меридиана длиной $L = 2\pi\mathfrak{R}_{\oplus}$ , отвечает углу в $360^{\circ}$ . Составим пропорцию:

\left\{\begin{matrix} \Delta\varphi \to \ell, \\ 360^{\circ} \to L \end{matrix}\right\}, \ \Rightarrow L = \ell\left(\frac{360^{\circ}}{\Delta\varphi}\right) = 2.50\cdot 10^5\ \text{стадий} = 39250\ \text{км}.

Современные исследования дают длину меридиана $L_0 = 40008$ км. Следовательно, относительную погрешность в определении длины меридиана определим как

\varepsilon_L = \left(\frac{L_0 - L}{L_0}\right)\cdot 100\% = 1.9\%,

что для того времени было очень хорошей точностью определения $L$ .

Ответ: $L = \ell\left(\frac{360^{\circ}}{\Delta\varphi}\right) = 2.50\cdot 10^5$ стадий $= 39250$ км; $\varepsilon_L = 1.9\%$ . ( $\text{\textdollar}_{\max} = 8$ баллов).

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2014-2]_8-9 classes.pdf · официални решения: TasksDecisions[SAmRAS_2014-2]_8-9 classes.pdf