Съдържание

Условие Отговори Решение

Самара 2014, II кръг (задочен), 8–9 клас — Задача 11. О двух астероидах и элонгации

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2014

УСЛОВИЯ КОНКУРСНЫХ ЗАДАЧ ОЛИМПИАДЫ ПО АСТРОНОМИИ SAMRAS-2014 СРЕДИ УЧАЩИХСЯ 8-9 КЛАССОВ ЗАОЧНОГО ТУРА № 2 · 9 т.

Уровень «Новичок»

(уровень А)

Уровень «Знаток»

(уровень B)

Уровень «Профи»

(уровень C)

Уровень «Новичок»

(уровень А)

Уровень «Знаток»

(уровень B)

Уровень «Профи»

(уровень C)

Условие

Условие. Два астероида А и В имеют одинаковый синодический период, равный 420 суток (при наблюдении с Земли). Известно, что большая полуось астероида А меньше большой полуоси астероида В. Найти максимальную элонгацию астероида А при наблюдении с астероида В. Орбиты астероидов считать круговыми. (9 баллов).

Отговори

Решение

Дано: $S_1 = S_2 = 420$ сут $= 1.15$ года, $a_A < a_B$ .

Найти: $m_2$ – ?

Равенство синодических периодов и неравенство больших полуосей орбит астероидов, легко объясняется, если один из астероидов расположен ближе к Солнцу, чем Земля, а другой – дальше нее. Важно отметить, что оба астероида обращаются вокруг Солнца в туже сторону, что и Земля, иначе бы их синодический период был бы меньше периода обращения Земли. Запишем уравнение для синодического периода в случае нижнего (астероид А) и верхнего тела (астероид B):

\frac{1}{S} = \frac{1}{T_A} - \frac{1}{T_{\oplus}}, \ \Rightarrow \ T_A = \frac{S\,T_{\oplus}}{(S + T_{\oplus})} = \frac{S}{(S + 1)}.

Схема круговых орбит вокруг Солнца (желтый круг в центре): внутренняя красная орбита астероида А, черная орбита Земли (зеленая точка «Земля»), внешняя синяя орбита астероида B; отрезки a_A и a_B от Солнца до астероидов, линия от астероида B к астероиду А касается его орбиты, угол α при астероиде B. — Рис. 4.

\frac{1}{S} = \frac{1}{T_{\oplus}} - \frac{1}{T_B}, \ \Rightarrow \ T_B = \frac{S\,T_{\oplus}}{(S - T_{\oplus})} = \frac{S}{S - 1},

здесь $T_A, T_B$ – сидерические периоды обращения астероидов вокруг Солнца, и учтено, что $T_{\oplus} = 1$ год – сидерический период обращения Земли. Согласно 3-му закону Кеплера отношение больших полуосей орбит астероидов есть:

\frac{a_A}{a_B} = \left(\frac{T_A}{T_B}\right)^{2/3} = \left(\frac{S - 1}{S + 1}\right)^{2/3}. \qquad (12)

Из рис. 4, очевидно, что синус угла максимальной элонгации астероида А для воображаемого наблюдателя, находящегося на астероиде B, определяется отношением больших полуосей орбит астероидов:

\sin\alpha = \frac{a_A}{a_B} = \left(\frac{S - 1}{S + 1}\right)^{2/3} = \left(\frac{1.15 - 1}{1.15 + 1}\right)^{2/3} = 0.1695, \ \Rightarrow \ \alpha = 9.8^{\circ}. \qquad (13)

Ответ: $\sin\alpha = \left(\frac{S-1}{S+1}\right)^{2/3}$ , $\alpha = 9.8^{\circ}$ . ( $\text{\textdollar}_{\max} = 9$ баллов).

$^1$ Условие и решение задачи представлены Гришиным К., учащимся 10 класса Лицея № 57 г. Тольятти.

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2014-2]_8-9 classes.pdf · официални решения: TasksDecisions[SAmRAS_2014-2]_8-9 classes.pdf