Съдържание

Условие Отговори Решение

Самара 2014, II кръг (задочен), 8–9 клас — Задача 12. Размеры и плотность самой легкой "обнаруженной" черной дыры

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2014

УСЛОВИЯ КОНКУРСНЫХ ЗАДАЧ ОЛИМПИАДЫ ПО АСТРОНОМИИ SAMRAS-2014 СРЕДИ УЧАЩИХСЯ 8-9 КЛАССОВ ЗАОЧНОГО ТУРА № 2 · 10 т.

Уровень «Новичок»

(уровень А)

Уровень «Знаток»

(уровень B)

Уровень «Профи»

(уровень C)

Уровень «Новичок»

(уровень А)

Уровень «Знаток»

(уровень B)

Уровень «Профи»

(уровень C)

Условие

Условие. В 2003 году внимание астрономов привлекла двойная система IGR J17091, находящаяся в созвездии Скорпиона, – они зафиксировали здесь яркую рентгеновскую вспышку. Последующие исследования этой системы показали, что она состоит из "нормальной" звезды и черной дыры, которая постепенно "перетягивает" на себя газ с компаньона. Используя космический телескоп RXTE (Rossi X-ray Timing Explorer), они смогли измерить частоту рентгеновских импульсов от черной дыры и вычислить ее массу, которая оказалась близкой к минимально возможной массе черной дыры ( $\mathfrak{M}_{BH} = 3\,\mathfrak{M}_{\odot}$ ), образующейся на финальной стадии эволюции звезды. Эта черная дыра имеет минимальную массу, среди всех черных дыр, обнаруженных косвенными методами на данный момент. Определите радиус этой черной дыры (радиус Шварцшильда) и ее среднюю массовую плотность. Как зависит последний параметр от массы $\mathfrak{M}_{BH}$ ? (10 баллов).

Отговори

Решение

Дано: $\mathfrak{M}_{BH} = 3\,\mathfrak{M}_{\odot}$ .

Найти: $\rho_{\text{BH}}(\mathfrak{M}_{BH})$ – ? $\mathfrak{R}_{BH}$ – ?

Как известно, черная дыра (ЧД) – область четырехмерного пространства-времени, гравитационное притяжение которой настолько велико, что покинуть ее не могут даже объекты, движущиеся со скоростью света, в том числе кванты самого света. Граница этой области называется горизонтом событий, а ее характерный размер – гравитационным радиусом или радиусом Шварцшильда. Последний можно определить из условия, что на горизонте событий вторая космическая скорость ЧД равна скорости света:

V_{II} = \sqrt{\frac{2\,G\,\mathfrak{M}_{\text{BH}}}{\mathfrak{R}_{BH}}} = c, \ \Rightarrow \ \mathfrak{R}_{BH} = \frac{2\,G\,\mathfrak{M}_{\text{BH}}}{c^2} = \frac{6.673\cdot 10^{-11}\cdot 3\cdot 1.989\cdot 10^{30}}{9\cdot 10^{16}}\ \text{м} = 8.848\,\text{км}. \qquad (14)

Среднюю массовую плотность определим выражением

\rho_{\text{BH}} = \frac{\mathfrak{M}_{\text{BH}}}{V_{\text{BH}}} = \frac{\mathfrak{M}_{\text{BH}}}{\frac{4}{3}\pi\mathfrak{R}_{BH}^3} = \frac{3c^6}{32\pi G^3\,\mathfrak{M}_{BH}^2} = \frac{c^6}{96\pi G^3\,\mathfrak{M}_{\odot}^2} = 2.06\cdot 10^{18}\ \text{кг/м}^3. \qquad (15)

Из последнего результата следует интересный факт – чем больше масса черной дыры, тем меньше ее средняя массовая плотность (гиперболическая зависимость – $\rho_{\text{BH}} \sim 1/\mathfrak{M}_{BH}^2$ ).

Ответ: $\mathfrak{R}_{BH} = \frac{2\,G\,\mathfrak{M}_{\text{BH}}}{c^2} = 8.848$ км, $\rho_{\text{BH}} = \frac{3c^6}{32\pi G^3\,\mathfrak{M}_{BH}^2} = 2.06\cdot 10^{18}\ \text{кг/м}^3$ . ( $\text{\textdollar}_{\max} = 10$ баллов).

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2014-2]_8-9 classes.pdf · официални решения: TasksDecisions[SAmRAS_2014-2]_8-9 classes.pdf