Съдържание

Условие Отговори Решение

Самара 2014, II кръг (задочен), 8–9 клас — Задача 14. Коррекция орбиты АМС и ее орбитальный период

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2014

УСЛОВИЯ КОНКУРСНЫХ ЗАДАЧ ОЛИМПИАДЫ ПО АСТРОНОМИИ SAMRAS-2014 СРЕДИ УЧАЩИХСЯ 8-9 КЛАССОВ ЗАОЧНОГО ТУРА № 2 · 12 т.

Уровень «Новичок»

(уровень А)

Уровень «Знаток»

(уровень B)

Уровень «Профи»

(уровень C)

Уровень «Новичок»

(уровень А)

Уровень «Знаток»

(уровень B)

Уровень «Профи»

(уровень C)

Условие

Условие. Автоматическая межпланетная станция (АМС) обращается вокруг Солнца по круговой орбите. В результате коррекции орбиты (для избежания столкновения с астероидом), орбитальный (сидерический) период АМС $T$ увеличился на малую величину $\Delta T$ , (причем $\Delta T \ll T$ , орбита осталась круговой), при этом синодический период АМС изменился на ту же величину $\Delta T$ . Найти орбитальный период $T$ обращения АМС. Большая полуось орбиты АМС больше большой полуоси Земли, направления обращения Земли и АМС совпадают. (12 баллов).

Отговори

Решение

Дано: $\Delta T = \Delta S$ , $a_{\oplus} < a$ .

Найти: $T$ – ?

Воспользуемся уравнением синодического периода для двух ситуаций:

а) до корректировки орбиты:

\frac{1}{S} = \frac{1}{T_{\oplus}} - \frac{1}{T}, \ \Rightarrow \ S = \frac{T\,T_{\oplus}}{T - T_{\oplus}}. \qquad (18)

где $S$ – синодический период АМС; $T_{\oplus}$ – сидерический период обращения Земли вокруг Солнца, $T$ – сидерический период обращения АМС вокруг Солнца;

б) после корректировки орбиты:

\frac{1}{S - \Delta T} = \frac{1}{T_{\oplus}} - \frac{1}{T + \Delta T}, \ \Rightarrow \ S = \Delta T + \frac{(T + \Delta T)T_{\oplus}}{T - T_{\oplus} + \Delta T}. \qquad (19)

здесь мы учли, что при увеличении сидерического периода АМС, ее синодический период должен уменьшаться. Пусть $x = (\Delta T/T) \ll 1$ , тогда из уравнений (18) и (19) следует

\frac{T\,T_{\oplus}}{T - T_{\oplus}} = T\,x + \frac{T\,T_{\oplus}(1 + x)}{T - T_{\oplus} + x\,T}, \ \Rightarrow \ \frac{T\,T_{\oplus}}{T - T_{\oplus}} = \frac{T^2(x^2 + x) + T\,T_{\oplus}}{T - T_{\oplus} + x\,T}, \ \Rightarrow

T_{\oplus}(T - T_{\oplus} + x\,T) = (T - T_{\oplus})(T(x^2 + x) + T_{\oplus}), \ \Rightarrow \ x(T^2 - 2T\,T_{\oplus}) = 0.

при получении последнего выражения мы учли, что $x \ll 1$ , и слагаемыми, пропорциональными $x^2$ , можно пренебречь.

Решениями последнего неполного квадратного уравнения являются 2 корня: $T = 0$ лет (не физический корень) и $T = 2\,T_{\oplus} = 2$ года. Т.о. искомый период будет составлять два года.

Ответ: $T = 2\,T_{\oplus} = 2$ года. ( $\text{\textdollar}_{\max} = 12$ баллов).

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2014-2]_8-9 classes.pdf · официални решения: TasksDecisions[SAmRAS_2014-2]_8-9 classes.pdf