Съдържание

Условие Отговори Решение

Самара 2014, II кръг (задочен), 8–9 клас — Задача 15. Минимальная масса реликтовой квантовой черной дыры

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2014

УСЛОВИЯ КОНКУРСНЫХ ЗАДАЧ ОЛИМПИАДЫ ПО АСТРОНОМИИ SAMRAS-2014 СРЕДИ УЧАЩИХСЯ 8-9 КЛАССОВ ЗАОЧНОГО ТУРА № 2 · 13 т.

Уровень «Новичок»

(уровень А)

Уровень «Знаток»

(уровень B)

Уровень «Профи»

(уровень C)

Уровень «Новичок»

(уровень А)

Уровень «Знаток»

(уровень B)

Уровень «Профи»

(уровень C)

Условие

Условие. Согласно современной теории эволюции ранней Вселенной, в первые моменты после Большого взрыва последняя представляла собой "кипящий суп из пространства, времени и реликтовых черных дыр". Последние должны были возникнуть непосредственно при образовании Вселенной из-за флуктуаций плотности. Исследования физиков-теоретиков показывают, что размеры такой реликтовой черной дыры не могут быть меньше некоторого предельного значения – планковской длины ( $L_P$ ) – фундаментальной единицы длины, определяющей минимально возможное расстояние, на котором понятия пространства и длины еще существуют. Опираясь на приведенные прогнозы, с использованием явного вида для $L_P$ (следует самостоятельно найти явное выражение для данного параметра в литературе), оцените минимальную массу и соответствующую массовую плотность реликтовой квантовой черной дыры. (13 баллов).

Отговори

Решение

Дано: $D_{BH}^{(\min)} \ge L_P$ .

Найти: $\rho_{\text{BH}}$ – ? $\mathfrak{M}_{BH}^{(\min)}$ – ?

Согласно условию задачи, размеры реликтовой черной дыры (далее будем полагать радиус – $\mathfrak{R}_{BH}$ ) не могут быть меньше планковской длины $L_P$ (явное выражение для данного параметра можно найти, например, в Wikipedia, "Планковская длина"), т.е.

\mathfrak{R}_{BH} \ge L_P, \ \ \text{где} \ \ L_P = \sqrt{\frac{\hbar\,G}{c^3}} = 1.616\cdot 10^{-35}\ \text{м}. \qquad (20)

где $\hbar = 1.055\cdot 10^{-34}$ Дж·c – постоянная Планка, $G = 6.673\cdot 10^{-11}\ \text{Н}\cdot\text{м}^2/\text{кг}^2$ – гравитационная постоянная; $c = 2.998\cdot 10^8$ м/c – скорость света в вакууме.

Далее рассмотрим предельный случай равенства величин:

\mathfrak{R}_{BH} = \sqrt{\frac{\hbar\,G}{c^3}}, \ \Rightarrow \ \frac{2\,G\,\mathfrak{M}_{\text{BH}}^{(\min)}}{c^2} = \sqrt{\frac{\hbar\,G}{c^3}}, \ \Rightarrow \ \mathfrak{M}_{\text{BH}}^{(\min)} = \sqrt{\frac{\hbar\,c}{4G}} = 1.09\cdot 10^{-8}\ \text{кг}. \qquad (21)

здесь мы учли, что радиус черной дыры определяется выражением (14).

Среднюю массовую плотность определим выражением

\rho_{\text{BH}} = \frac{\mathfrak{M}_{\text{BH}}^{(\min)}}{V_{\text{BH}}} = \frac{\mathfrak{M}_{\text{BH}}^{(\min)}}{\frac{4}{3}\pi\mathfrak{R}_{BH}^3} = \frac{3c^6}{32\pi G^3\,\mathfrak{M}_{BH}^2} = \frac{3}{8\pi}\,\frac{c^5}{\hbar\,G^2} = 6.15\cdot 10^{95}\ \text{кг/м}^3. \qquad (22)

Следует отметить, именно такую плотность имела наша Вселенная в первые мгновения своего существования.

Ответ: $\mathfrak{M}_{\text{BH}}^{(\min)} = \sqrt{\frac{\hbar\,c}{4G}} = 1.09\cdot 10^{-8}$ кг, $\rho_{\text{BH}} = \frac{3}{8\pi}\,\frac{c^5}{\hbar\,G^2} = 6.15\cdot 10^{95}\ \text{кг/м}^3$ . ( $\text{\textdollar}_{\max} = 13$ баллов).

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2014-2]_8-9 classes.pdf · официални решения: TasksDecisions[SAmRAS_2014-2]_8-9 classes.pdf