Съдържание

Условие Отговори Решение

Самара 2014, II кръг (задочен), 8–9 клас — Задача 6. "Черная звезда" Мичелла

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2014

УСЛОВИЯ КОНКУРСНЫХ ЗАДАЧ ОЛИМПИАДЫ ПО АСТРОНОМИИ SAMRAS-2014 СРЕДИ УЧАЩИХСЯ 8-9 КЛАССОВ ЗАОЧНОГО ТУРА № 2 · 5 т.

Уровень «Новичок»

(уровень А)

Уровень «Знаток»

(уровень B)

Уровень «Профи»

(уровень C)

Уровень «Новичок»

(уровень А)

Уровень «Знаток»

(уровень B)

Уровень «Профи»

(уровень C)

Условие

Условие. Концепция массивного тела, гравитационное притяжение которого настолько велико, что скорость, необходимая для преодоления этого притяжения (вторая космическая скорость), равна или превышает скорость света, впервые была высказана в 1784 году Дж. Мичеллом в письме, которое он послал в Королевское общество. Письмо содержало расчет, из которого следовало, что для тела с радиусом в 500 солнечных радиусов и с плотностью Солнца вторая космическая скорость на его поверхности будет равна скорости света. Свет не сможет покинуть это тело, и оно будет невидимым. Определите массу "Черной звезды" Мичелла в единицах массы Солнца и в кг. (5 баллов).

Отговори

Решение

Дано: $\mathfrak{R}_* = 500\,\mathfrak{R}_{\odot}$ , $\rho_* = \rho_{\odot}$ .

Найти: $m_{\max}$ – ?

Определим искомую величину двумя альтернативными способами.

Способ № 1. Как известно, плотность солнечного вещества и вещества "Черной звезды" можно представить в виде:

\rho_{\odot} = \frac{\mathfrak{M}_{\odot}}{\frac{4}{3}\pi\,\mathfrak{R}_{\odot}^3}, \ \ \rho_* = \frac{\mathfrak{M}_*}{\frac{4}{3}\pi\,\mathfrak{R}_*^3}, \ \Rightarrow \ \frac{\mathfrak{M}_{\odot}}{\mathfrak{R}_{\odot}^3} = \frac{\mathfrak{M}_*}{\mathfrak{R}_*^3}, \ \Rightarrow \ \mathfrak{M}_* = \left(\frac{\mathfrak{R}_*}{\mathfrak{R}_{\odot}}\right)^3 \mathfrak{M}_{\odot}. \qquad (3)

здесь учтено, что объем звезды-шара есть

V_s = \frac{4}{3}\pi\,\mathfrak{R}^3. \qquad (4)

В итоге $\mathfrak{M}_* = 1.25\times 10^8\times\mathfrak{M}_{\odot} = 2.5\cdot 10^{38}$ кг ( $\mathfrak{M}_{\odot} = 1.989\cdot 10^{30}$ кг – масса Солнца).

Способ № 2. Воспользуемся определением второй космической скорости для звезды:

V_{II} = \sqrt{\frac{2\,G\,\mathfrak{M}_*}{\mathfrak{R}_*}} = c, \ \Rightarrow \ \mathfrak{M}_* = \frac{\mathfrak{R}_*\,c^2}{G} = \frac{5\cdot 10^2\cdot(6.961\cdot 10^8)\cdot 9\cdot 10^{16}}{2\cdot 6.673\cdot 10^{-11}}\ \text{кг} = 2.35\cdot 10^{38}\ \text{кг}. \qquad (5)

Следует отметить, что результат, полученный вторым способом, является более точным, поскольку здесь использовалось лишь одно определение и не задействована плотность, которая в случае массивных тел (таких как черная дыра) связана с массой несколько иначе – с использованием некоторого дополнительного множителя (не учтенного в первом случае).

Ответ: $\mathfrak{M}_* = 1.25\times 10^8\times\mathfrak{M}_{\odot} = 2.35\cdot 10^{38}\ \text{кг} \approx 2.50\cdot 10^{38}\ \text{кг}$ . (5 баллов).

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2014-2]_8-9 classes.pdf · официални решения: TasksDecisions[SAmRAS_2014-2]_8-9 classes.pdf