Съдържание

Условие Отговори Решение

Самара 2014, II кръг (задочен), 8–9 клас — Задача 7. Вид Солнца в окрестности Плутона

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2014

УСЛОВИЯ КОНКУРСНЫХ ЗАДАЧ ОЛИМПИАДЫ ПО АСТРОНОМИИ SAMRAS-2014 СРЕДИ УЧАЩИХСЯ 8-9 КЛАССОВ ЗАОЧНОГО ТУРА № 2 · 6 т.

Уровень «Новичок»

(уровень А)

Уровень «Знаток»

(уровень B)

Уровень «Профи»

(уровень C)

Уровень «Новичок»

(уровень А)

Уровень «Знаток»

(уровень B)

Уровень «Профи»

(уровень C)

Условие

Условие. Как известно, период обращения Плутона вокруг Солнца равен 246 годам. Сможет ли космонавт будущего, находящийся в окрестности данной планеты невооруженным глазом увидеть Солнце? Увидеть как неточечный объект? Если не сможет, то каково должно быть минимальное увеличение телескопа, который необходим космонавту, чтобы увидеть Солнце как неточечный объект? Разрешающую способность и проницающую силу человеческого глаза полагать равными $1'$ и $6^m$ соответственно. (6 баллов).

Отговори

Решение

Дано: $T_P = 246$ лет, $\beta_y = 1' = 60''$ , $m_y = 6^m$ .

Найти: сможет ли? $D_{ob}$ – ?

Для ответа на первый вопрос необходимо определить видимую звездную величину $m_{\odot}^{(P)}$ , которую будет иметь Солнце в окрестности Плутона, и сравнить полученный результат с проницающей силой глаза космонавта $m_y$ . Для определения $m_{\odot}^{(P)}$ воспользуемся законом обратных квадратов для освещенностей, создаваемых излучением Солнца у поверхности Плутона ( $E_{\odot}^{(P)}$ ) и Земли ( $E_{\odot}^{(E)}$ ):

\frac{E_{\odot}^{(E)}}{E_{\odot}^{(P)}} = \left(\frac{r_P}{a_{\oplus}}\right)^2. \qquad (6)

Здесь $a_{\oplus}$ , $r_P$ – гелиоцентрические расстояния Земли и Плутона. Для определения расстояния $r_P$ воспользуемся значением периода обращения и третьим законом Кеплера:

\left(\frac{r_P}{a_{\oplus}}\right)^3 = \left(\frac{T_P}{T_{\oplus}}\right)^2, \ \Rightarrow \ \frac{E_{\odot}^{(E)}}{E_{\odot}^{(P)}} = \left(\frac{r_P}{a_{\oplus}}\right)^2 = \left(\frac{T_P}{T_{\oplus}}\right)^{4/3} = 1541, \ \ r_P = 39.26\ \text{а.е.} \qquad (7)

Как известно, разность в $5^m$ отвечает отношению освещенностей в $(2.512)^5 = 100$ раз. Нетрудно убедиться, что число 1541 весьма близко к значению $(2.512)^8 = 1585$ , следовательно, звездная величина Солнца в окрестности Плутона приблизительно на $8^m$ больше чем в окрестности Земли. В результате звездная величина Солнца $m_{\odot}^{(P)} = m_{\odot}^{(E)} + 8^m = -26.8^m + 8^m = -18.8^m < 6^m$ . Т.о., космонавт увидит Солнце невооруженным глазом, при этом Солнце будет выглядеть ярче полной луны почти в 250 раз.

Для ответ на второй вопрос задачи необходимо определить угловой диаметр Солнца для космонавта в окрестности Плутона и сравнить полученный результат с разрешающей способностью человеческого глаза. Угловой диаметр Солнца можно определить в виде:

D''_{\odot,\,P} = 2\cdot 206265''\cdot\operatorname{arctg}\left(\frac{\mathfrak{R}_{\oplus}}{r_P}\right) \approx 2\cdot 206265''\times\left(\frac{\mathfrak{R}_{\oplus}}{r_P}\right). \qquad (8)

Здесь $\mathfrak{R}_{\oplus} = 6.961\cdot 10^8$ м – радиус Солнца. Аналогичное соотношение можно записать для космонавта в окрестности Земли:

D''_{\odot,\,E} \approx 2\cdot 206265''\times\left(\frac{\mathfrak{R}_{\oplus}}{a_{\oplus}}\right) = 1920''. \qquad (9)

Поделив (8) на (9) в результате получаем

\frac{D''_{\odot,\,P}}{D''_{\odot,\,E}} = \frac{a_{\oplus}}{r_P}, \ \Rightarrow \ D''_{\odot,\,P} = D''_{\odot,\,E}\left(\frac{a_{\oplus}}{r_P}\right) = 49'' < 60''.

Следовательно, космонавт не сможет увидеть Солнце как неточечный объект. Тогда для этой задачи космонавту необходим телескоп, минимальное увеличение которого есть

\Gamma_{\min} = \frac{\beta_y}{D''_{\odot,\,P}} = 1.23^{\times}.

Ответ: космонавт увидит Солнце невооруженным глазом как точечный объект, при этом Солнце будет выглядеть ярче полной луны $\approx 250$ раз; $\Gamma_{\min} = \frac{\beta_y}{D''_{\odot,\,P}} = 1.23^{\times}$ . (6 баллов).

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2014-2]_8-9 classes.pdf · официални решения: TasksDecisions[SAmRAS_2014-2]_8-9 classes.pdf