Самара 2015, I кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 10. Время вечерней видимости Венеры

• Для наблюдателя на земном экваторе; заход в точке запада (W); τ_vis(max) = 3 час 11 мин, τ_vis(min) = 2 час 59 мин

Дано: $T = 21$ марта, $\delta_{\text{♀}} = 0^{\circ}00'$, восточ. элонгация

Найти: $\tau_{\rm vis}^{(\min)}$, $\tau_{\rm vis}^{(\max)}$ – ?

Решение: Как известно, 21 марта – день весеннего равноденствия – в эти сутки Солнце проходит через точку весеннего равноденствия и при этом ее склонение $\delta_\odot = 0^{\circ}$. Следовательно, Венера и Солнце совершают свое суточное движение по небесному экватору и восходят в точке востока ($E$), а заходят в точке запада ($W$).

Для наблюдателя, находящегося на земном экваторе, небесный экватор и первый вертикал будут совпадать, и потому Венера будет двигаться от верхней кульминации до захода вдоль последнего, азимут дуги которого постоянен и равен $A_W = 90^{\circ}$.

В других точках поверхности Земли такая ситуация невозможна.

Оценим минимальное ($\tau_{\rm vis}^{(\min)}$) и максимальное ($\tau_{\rm vis}^{(\max)}$) возможные значения продолжительности вечерней видимости планеты над горизонтом при данных условиях. Для этого учтем, что угловая скорость видимого движения Венеры по небосводу будет равна угловой скорости суточного вращения Земли (поскольку планета находится на небесном экваторе), равной $\omega_\oplus = 15.04^{\circ}$/час. Продолжительность вечерней видимости Венеры определяется промежутком времени между моментами заходов Солнца и Венеры за горизонт. Другими словами, необходимо вычислить промежуток времени, в течение которого Земля повернется на величину наибольшей элонгации $\alpha$. Тогда

Замечание: следует отметить, что ситуация описанная в задаче не реалистичная, поскольку 21 марта Солнце проходит точку весны - точку пересечения двух кругов (экватора и эклиптики), а Венера должна быть расположена на расстоянии $45-48^{\circ}$ от Солнца на эклиптике, следовательно, она не может быть на экваторе, и ее склонение в это момент не может равняться нулю. Однако, такой "упрощенный сценарий" позволяет сделать весьма точные оценки видимости минимизируя расчеты.

Ответ: Для наблюдателя, находящегося на земном экваторе, азимут Венеры не будет изменяться от верхней кульминации до захода; Венера восходит в точке востока ($E$) и заходит в точке запада ($W$); $\tau_{\rm vis}^{(\max)} = 3\,\text{час}\,11\,\text{мин}$, $\tau_{\rm vis}^{(\min)} = 2\,\text{час}\,59\,\text{мин}$. ($\text{\textdollar}_{\max} = 8$ баллов).