Съдържание

Условие Отговори Решение

Самара 2015, I кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 7. Мощные гейзеры Европы

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2015

Условия конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2015 среди учащихся 10-11 классов заочного тура № 1 · 6 т.

Уровень А

Уровень «Новичок» (уровень А)

Уровень B

Уровень «Знаток» (уровень B)

Уровень C

Уровень «Профи» (уровень C)

Условие

Условие. В декабря 2013 года учеными из Юго-Западного университета в Сан-Антонио (США) были впервые представлены доказательства существования водяных гейзеров, бьющих из трещин ледяной коры Европы (спутника Юпитера) недалеко от ее южного полюса. Открытие сделано по результатам анализа снимков телескопа Хаббла в оптическом и ультрафиолетовом диапазонах, полученных в декабре 2012 года. Установлено, что гейзеры поднимаются на высоту 200 км от поверхности, после чего их материал в связи со значительной массой Европы ( $\mathfrak{M}_E = 4.802\cdot 10^{22}$ кг) выпадает обратно на поверхность спутника, радиус которого $\mathfrak{R}_E = 1561.2$ км. Интенсивность биения гейзеров является переменной и зависит от приливной активности со стороны Юпитера, усиливаясь при отдалении Европы от газового гиганта, и ослабевая при приближении к нему. Определите начальную скорость вырывающихся из трещин потоков воды, и оцените эффективную площадь этих трещин, если суммарный поток гейзеров Европы, по оценке специалистов, равен 5 тонн в секунду. (6 баллов).

Отговори

Решение

Дано: $\mathfrak{M}_E = 4.802\cdot 10^{22}$ кг, $\mathfrak{R}_E = 1561.2$ км, $h = 2\cdot 10^5$ м, $\mu = 5\cdot 10^3$ кг/с.

Найти: $V_0, S_{\rm eff}$ – ?

Решение: Для определения начальной скорости вырывающихся водных масс воспользуемся законом сохранения механической энергии: запишем его для порции воды массы $\Delta m$ у поверхности Европы и на высоте $h$ :

\frac{\Delta m\,V_0^2}{2} - \frac{G\,\Delta m\,\mathfrak{M}_E}{\mathfrak{R}_E} = -\frac{G\,\Delta m\,\mathfrak{M}_E}{(\mathfrak{R}_E + h)}, \qquad (2)

здесь первое слагаемое в левой части уравнения определяет кинетическую энергию данной порции, второе – потенциальную энергию гравитационного взаимодействия данной порции с Европой. Откуда следует

V_0 = \sqrt{\frac{2\,G\,\mathfrak{M}_E}{(\mathfrak{R}_E + h)}\left(\frac{h}{\mathfrak{R}_E}\right)} = 683\,\text{м/с} = 0.683\,\text{км/с}. \qquad (3)

здесь $G = 6.673\cdot 10^{-11}$ Н $\cdot$ м $^2$ /кг $^2$ – универсальная гравитационная постоянная.

По определению, поток массы есть отношение массы ( $\Delta m$ ) воды, выносимой на поверхность спутника за время $\Delta t$ , к величине данного промежутка:

\mu = \frac{\Delta m}{\Delta t}. \qquad (4)

Поскольку вода вырывается из недр с огромной скоростью, она порождает «столб воды». Последний можно моделировать цилиндром с высотой $\Delta h$ и площадью $S_{\rm eff}$ , тогда его объем есть

V_c = S_{\rm eff}\,\Delta h = S_{\rm eff}\,V_0\,\Delta t.

Учитывая, что массу порции воды можно представить в виде

\Delta m = \rho_w\,V_c,

в итоге поток массы воды представляется как

\mu = \rho_w\,S_{\rm eff}\,V_0,\ \Rightarrow\ S_{\rm eff} = \frac{\mu}{\rho_w\,V_0} = \frac{5\cdot 10^3\,\text{кг/с}}{10^3\,\text{кг/м}^3\;683\,\text{м/с}} = 7.3\cdot 10^{-3}\,\text{м}^2. \qquad (5)

Интересно отметить, что эффективная площадь этих трещин равна по сути площади квадрата со стороной 8.5 см.

Ответ: $V_0 = \sqrt{\frac{2\,G\,\mathfrak{M}_E}{(\mathfrak{R}_E+h)}\left(\frac{h}{\mathfrak{R}_E}\right)} = 0.683\,\text{км/с}$ , $S_{\rm eff} = \mu/(\rho_w\,V_0) = 7.3\cdot 10^{-3}\,\text{м}^2$ . (6 баллов).

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2015-1]_10-11 classes.pdf · официални решения: TasksDecisions[SAmRAS_2015-1]_10-11 classes.pdf