Съдържание

Условие Отговори Решение

Самара 2015, I кръг (задочен), 10–11 клас — Задача 8. Наибольшая элонгация Венеры

Оригинал на условието (PDF)Съобщи за грешка

Всички материали от Самара 2015

Условия конкурсных задач олимпиады по астрономии SAMRAS-2015 среди учащихся 10-11 классов заочного тура № 1 · 7 т.

Уровень А

Уровень «Новичок» (уровень А)

Уровень B

Уровень «Знаток» (уровень B)

Уровень C

Уровень «Профи» (уровень C)

Условие

Условие. Как известно, орбита Земли характеризуется большой полуосью $a_\oplus = 1.0000$ а.е. и эксцентриситетом $\varepsilon_\oplus = 0.0167$ . Соответствующие значения орбитальных параметров Венеры есть $a_{\text{♀}} = 0.7233$ а.е., $\varepsilon_{\text{♀}} = 0.0068$ . Определите по этим данным минимальное и максимальное возможные значения наибольшей элонгации Венеры. В расчетах пренебречь наклонением орбиты Венеры к плоскости эклиптики. (7 баллов).

Отговори

Решение

Дано: $a_\oplus = 1.0000$ а.е., $\varepsilon_\oplus = 0.0167$ , $a_{\text{♀}} = 0.7233$ а.е., $\varepsilon_{\text{♀}} = 0.0068$ .

Найти: $\alpha_{\min}, \alpha_{\max}$ –?

Решение: Под элонгацией в астрономии (в общем случае) понимается угловое расстояние между двумя светилами. Поскольку Венера – внутренняя планета, ее орбита лежит внутри орбиты Земли, то ее элонгация не может больше некоторого предельного значения $\alpha$ . Данное значение достигается в случае, когда угол между направлениями на Солнце и на Землю (если смотреть из центра Венеры) будет равен $90^{\circ}$ (см. рис. 7.а). Следовательно, треугольник $\triangle SVE$ , составленный из Солнца, Венеры и Земли будет прямоугольным. Для последнего легко определить синус угла $\alpha$ :

\sin\alpha = \frac{r_V}{r_\oplus},\ \Rightarrow\ \alpha = \arcsin\left(\frac{r_V}{r_\oplus}\right). \qquad (6)

где $r_V, r_\oplus$ – гелиоцентрические расстояния до Венеры и Земли соответственно.

На интервале $(0, \pi/2)$ функция "синус" есть монотонно возрастающая функция, следовательно большему значению отношения $r_V/r_\oplus$ соответствует большее значение аргумента $\alpha$ .

Угол $\alpha$ будет принимать максимальное значение, когда числитель дроби ( $r_V$ ) будет максимален (что отвечает пребыванию Венеры в афелии своей орбиты), а знаменатель ( $r_\oplus$ ) будет минимальным (что отвечает пребыванию Земли в перигелии своей орбиты), т.е.

\alpha_{\max} = \arcsin\left(\frac{r_V^{(\max)}}{r_\oplus^{(\min)}}\right) = \arcsin\left(\frac{a_{\text{♀}}(1+\varepsilon_{\text{♀}})}{a_\oplus(1-\varepsilon_\oplus)}\right) = 47^{\circ}47'.

Две схемы. а) Солнце S в центре пунктирной орбиты Венеры, Венера V на орбите, Земля E на внешней пунктирной дуге; отрезки r_V (S–V), Δ (V–E), r_⊕ (S–E), прямой угол при V, угол α при E. б) Окружность меридиана с полюсами N и S, центром C, точками Q₁ и Q₂ на экваторе, точками S_N и S_S на окружности, дугой ℓ и углами Δφ, φ_N, φ_S. — Рис. 7: К определению величины наибольшей элонгации.

Угол $\alpha$ будет принимать минимальное значение, когда числитель дроби ( $r_V$ ) будет минимален (что отвечает пребыванию Венеры в перигелии своей орбиты), а знаменатель ( $r_\oplus$ ) будет максимальным (что отвечает пребыванию Земли в афелии своей орбиты), т.е.

\alpha_{\min} = \arcsin\left(\frac{r_V^{(\min)}}{r_\oplus^{(\max)}}\right) = \arcsin\left(\frac{a_{\text{♀}}(1-\varepsilon_{\text{♀}})}{a_\oplus(1+\varepsilon_\oplus)}\right) = 44^{\circ}57'.

Ответ: $\alpha_{\max} = \arcsin\left(\frac{a_{\text{♀}}(1+\varepsilon_{\text{♀}})}{a_\oplus(1-\varepsilon_\oplus)}\right) = 47^{\circ}47'$ , $\alpha_{\min} = \arcsin\left(\frac{a_{\text{♀}}(1-\varepsilon_{\text{♀}})}{a_\oplus(1+\varepsilon_\oplus)}\right) = 44^{\circ}57'$ . (7 баллов).

Оригинал в Архива: Tasks[SAmRAS_2015-1]_10-11 classes.pdf · официални решения: TasksDecisions[SAmRAS_2015-1]_10-11 classes.pdf