Самара 2015, I кръг (задочен), 8–9 клас — Задача 11. Максимальное значение эксцентриситета орбиты Немезиды

• ε_max = 0.347; q = 57267 а.е.

Дано: $R_{\mathrm{Hill}} = 1.87$ св. года.

Найти: $\varepsilon^{(N)}_{\max}, q^{(N)}$ – ?

Решение: Согласно условию задачи, система «Солнце-Немезида» является устойчивой, следовательно, ее орбита должна целиком лежать внутри сферы Хилла Солнечной системы, следовательно для любого момента времени, гелиоцентрическое расстояние до Немезиды ($r_N$) не может превышать радиуса сферы Хилла ($R_{\mathrm{Hill}}$), т.е.

тогда афелийное расстояние ($Q^{(N)}$) орбиты Немезиды не может быть больше $R_{\mathrm{Hill}}$:

Данное расстояние представляется в виде:

где $a^{(N)}, \varepsilon^{(N)}$ – большая полуось и эксцентриситет орбиты Немезиды. Согласно решению предыдущей задачи – $a^{(N)} = 87764$ а.е. $= 1.388$ св. года. Т.о.

Легко также вычислить перигелийное расстояние орбиты Немезиды:

Ответ: $\varepsilon^{(N)}_{\max} = \frac{R_{\mathrm{Hill}}}{a^{(N)}} - 1 = 0.347$, $q^{(N)} = a^{(N)}(1 - \varepsilon^{(N)}) = 57267$ а.е. ($\text{\textdollar}_{\max} = 9$ баллов).